Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

 

Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона.

Пусть функция f(x) задана значениями ; ; …; в равноотстоящих узлах интерполяции , , …, и требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что ; ; …; .

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n + 1 значению функции f (x), многочлен Р_n (x) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и совпадает с Лагранжа.

Будем искать f (x) в виде

 

. (7.3)

 

В этом выражении неизвестны коэффициенты а ₀, а ₁, а ₂, …, а_n.

Найдем а ₀, положив х = х ₀, тогда

 

.

 

Чтобы найти коэффициент а₁, составим первую конечную разность для многочлена Р_n (x) в точке х. Согласно определению конечной разности имеем

 

.

Проведя подстановку, получим

 

 

Вычислим первую конечную разность многочлена Р_n (x) в точке х ₀. Здесь так же все члены, кроме первого, обратятся в ноль и, следовательно,

 

,

но

; ; .

Чтобы определить коэффициент а₂, составим конечную разность второго порядка:

.

После преобразований получим

 

 

Полагаем х = х ₀: тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в ноль и

 

, .

 

Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х = х ₀, получим общую формулу для получения коэффициентов

.

Подставив найденные значения коэффициентов а_i в выражение (7.3), получим первую интерполяционную формулу Ньютона.

 

(7.4)

 

На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде:

 

,

где , h – шаг интерполирования и q – число шагов.

Если n = 1, то получим формулу линейного интерполирования

 

.

При n = 2 получим формулу параболического или квадратичного интерполирования

.

Эти формулы удобно применять в начале таблицы, когда q мало по абсолютной величине.