2017-12-16
1410
Рассмотрим два тела 1 и 2, совершающих вращательное движение соответственно вокруг центров 
с угловыми скоростями 
образующие высшую КП.
1. Отметим на общей нормаль контактную точку 
.
2. Проведем радиусы векторы точки для тел 1 и 2: 
.
3. Определим скорость в контактной точке 
, 
.
4. Так как вектор 
, то 
и 
, 
.
5. Опускаем соответствующие перпендикуляры на нормаль, и исходя из условия существования высшей КП 
: 
.
6. 
.
7. 
- полюс зацепления – это точка пересечения линии центров с общей нормалью к профилям в точке контакта. Опустим перпендикуляры из центров на общую нормаль и отметим точки 
: 
(по третьему признаку подобия – по трем углам).
8. Как углы со взаимно перпендикулярными сторонами 
и 
, следовательно из 
: 
, из 
: 
.
9. 
, из подобия треугольников : 
,
10. Следовательно: 
Таким образом, полюс относительного вращения звеньев лежит на линии центров и делит ее на отрезки обратно пропорциональные угловым скоростям.
Теорема Виллиса. Передаточное отношение между звеньями, совершающими вращательное движение прямо пропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению расстояний от центров вращения до полюса.
Равенство векторов скоростей по направлению для тел, совершающих вращательное движение, возможно только на линии соединяющей центры вращения тел. Поэтому полюс относительного вращения должен лежать на этой линии. Т.о. полюс – это единственная контактная точка, в которой отсутствует проскальзывание.
Формулировка анализа. Контактная нормаль к профилям высшей пары пересекает линию центров в полюсе относительного вращения звеньев.
Формулировка синтеза. Профили в высшей кинематической паре должны быть выполнены так, чтобы контактная нормаль к ним проходила через полюс относительного вращения звеньев.
Так как положение полюса на линии центров определяет передаточное отношение механизма, то профили удовлетворяющие основной теореме зацепления обеспечивают заданный закон изменения передаточного отношения или являются сопряженными.
