Помимо классического МНК для определения неизвестных параметров линейной модели множественной регрессии используется метод оценки параметров через β-коэффициенты – стандартизованные коэффициенты регрессии.
Построение модели множественной регрессии в стандартизированном, или нормированном, масштабе означает, что все переменные, включенные в модель регрессии, стандартизируются с помощью специальных формул.
Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
,
где , - стандартизованные переменные;
- стандартизованные коэффициенты регрессии.
Т.е. посредством процесса стандартизации точкой отсчета для каждой нормированной переменной устанавливается ее среднее значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной переменной принимается ее среднеквадратическое отклонение σ.
β-коэффициенты показывают, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится в среднем результат за счет изменения соответствующего фактора xi на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов.
|
|
Стандартизованные коэффициенты регрессии βi сравнимы между собой, что позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. Большее относительное влияние на изменение результативной переменной y оказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значение коэффициента βi. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии, в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые не сравнимы между собой.
Связь коэффициентов «чистой» регрессии bi с коэффициентами βi описывается соотношением:
, или
Параметр a определяется как .
Коэффициенты β определяются при помощи МНК из следующей системы уравнений методом определителей:
Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессии предварительно осуществляется преобразование последних в линейную форму (с помощью замены переменных) и МНК применяется для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных переменных. В случае внутренне нелинейных зависимостей для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.