Теорема Ляпунова и ее значение

Нетрудно доказать, что сумма любого конечного числа независимых нормально распределенных СВ также распределена по нормальному закону. Если независимые СВ не распределены по нормальному закону, то можно наложить на них некоторые весьма нежесткие ограничения, и их сумма будет всё-таки распределена нормально. Это доказали, а затем развили в своих трудах в основном русские ученые: Чебышев, Марков, Ляпунов.

Теорема Ляпунова: Если независимые СВ , , … имеют конечные Мои дисперсии, равные соответственно , , … и , , … , число их достаточно велико, а при неограниченном возрастании n

(1)

, где , , … - абсолютные центральные моменты третьего порядка соответственно СВ , , … , то сумма их с достаточной степенью точности распределена по нормальному закону с параметрами

Неравенство (1) называется условием Ляпунова. Смысл его состоит в том, сто действие каждого слагаемого невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречаемые в природе и общественной жизни протекают именно по такой схеме. В связи с этим теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение, а нормальный закон распределения является одним из основных в теории вероятности.