Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра . Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.
Примеры статистик. . Эта оценка .
Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра .
Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору , поэтому для установления качества полученных оценок моментов , следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные значения (Xi) на СВ Xi.
; ; .
Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства.
1. Несмещенность, т.е. .
Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.
Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. .
2. Состоятельность, т.е. .
Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.
|
|
Эффективность.
а) Если оценки и – несмещенные, то и .
Если , то оценка более эффективна, чем .
б) Если оценки и – смещенные, тогда и .
Если , то оценка более эффективная, чем .
Где – средний квадрат отклонения оценки.