Точечная оценка генеральной средней и дисперсии. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия

Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).

Требования, предъявляемые к точечным оценкам:

1. Несмещенность, т.е. .

Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.

Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. .

2. Состоятельность, т.е. .

Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.

3. Эффективность.

Докажем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.

Выполним следующие преобразования

;

.

Найдем МО для дисперсии:

.

.

МО не совпадает с s2, а отличается на – смещение.

Таким образом эта оценка занимает в среднем истинное значение дисперсии на величину , правда это смещение сходит на нет при n ® ¥.

Чтобы устранить это смещение надо «исправить» дисперсию.

.

Можно доказать, что статистика S2 является и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.