Еліпс(фокуси,півосі,ексцентриситет,вершини ,директриси.)

Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є сталою величиною, більшою за відстань між фокусами. Нехай фокуси еліпса розташовані на осі Ox у точках F 1(c, 0), F 2(− c, 0), M (x, y) − довільна точка еліпса. Тоді за означенням еліпса F 1 M + F 2 M = 2 а. (4.35) Відстані r 1 = F 1 M і r 2 = F 2 M від довільної точки М (x, y) еліпса до

фокусів називаються фокальними радіусами точки М. Оскільки F 2 M =√ (x + c)^2 + y ^2 F1M =√(x − c)^2 + y ^2 рівняння (4.35) набуде вигляду

√(x + c)^2 + y^ 2 +√ (x − c)^2 + y^ 2 = 2 a або

√(x + c)^2 + y^ 2 = 2 a − √(x − c)^2 + y^ 2. Осі координат є осями симетрії еліпса, оскільки рівняння (4.36) не змінюється при заміні x на − x і y на − y, тому, якщо точка (x, y) належить еліпсу, то йому також належать точки (− x, y), (x, − y), (− x, − y). Точки перетину еліпса з осями координат (± а, 0), (0, ± b) називаються вершинами еліпса (рис. 4.25), а параметри а, b – його півосями. Форма еліпса характеризується ексцентриситетом ε = c/a (0 ≤ ε < < 1). При а = b = R еліпс перетворюється в коло з центром у початку координат і радіусом R (рис. 4.27). Його канонічне рівняння: x 2 + y 2 = R 2. При ε →1 еліпс вироджується у відрізок [− a, a ]. Прямі x = ± a /ε називаються директрисами еліпса Якщо задані півосі еліпса а, b, причому a ≥ b, то його фокуси розташовані на осі Ox в точках F 1(c, 0), F 2(− c, 0), де с = а 2 − b 2 Оскільки a > c, то можна ввести позначення і записати рівняння еліпса у канонічному вигляді: + =1

Гіпербола.

Гіперболою називається множина точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою,меншою за відстань між фокусами.Нехай M (x, y) − довільна точка гіперболи, фокуси якої розташовані на осі Ox у точках F 1(c, 0), F 2(− c, 0). Тоді за означенням гіперболи

| F 1 M − F 2 M | = 2 а ⇔ F 1 M − F 2 M = ±2 а. (4.41)Відстані r 1 = F 1 M і r 2 = F 2 M від довільної точки М (x, y) гіперболи до фокусів називаються фокальними радіусами точки М. Оскільки F 1 M = M= + то рівняння (4.41) набуде вигляду:

.

Після його перетворення отримаємо канонічне рівняння гіперболи:

Гіпербола симетрична відносно осей координат, оскільки рівняння (4.42) не змінюється при заміні x на − x і y на − y. Точки перетину гіперболи з віссю Ox (− a, 0) і (a, 0) називаються вершинами гіперболи. Гіпербола не перетинає вісь Оу. Параметр а називається дійсною піввіссю, а b – уявною піввіссю гіперболи. З рівняння (4.42) випливає, що x 2/ a 2 ≥ 1 або | x | ≥ a, тобто точки гіперболи розташовані справа від прямої x = a і зліва від прямої x = − a. При зростанні | x | величина | y | також зростає Прямі y = ±(b / a) x, що проходять через діагоналі прямокутника розміру 2 а ×2 b, називаються асимптотами гіперболи. Властивість асимптот: при необмеженому віддаленні від початку координат гіпербола наближається до асимптот, не перетинаючи їх. Величина ε = с/a (c = називається ексцентриситетом гіперболи (ε > 1), а прямі x = ± a /ε − її директрисами.

Парабола.

Параболою називається множина точок площини, кожна з якихрівновіддалена від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).Відстань p від фокуса до директриси називається параметромпараболи Нехай M (x, y) − довільна точка параболи, фокус якої міститься вточці F (p /2, 0), а директриса перпендикулярна до осі Ox і має рівняння x = − p /2.Відрізок FM називається фокальним радіусом точки M. Парабола симетрична відносноосі Ox, оскільки рівняння (4.48) незмінюється при заміні y на − y. Точка О (0, 0) перетину параболи з віссюсиметрії називається її вершиною. Оскільки p > 0, то з рівняння (4.48)випливає, що x ≥ 0, тобто параболарозташована справа від осі Oy. Призростанні x модуль y також зростає.