Визначення вартості грошей у часі

Відомо, що гроші – це особливий товар, який можна обмінювати на будь-які інші товари без обмежень. Крім того, гроші – це еквівалент вартості усіх інших товарів, оскільки саме за допомогою грошей у вигляді фіксованої їх кількості вимірюється вартість будь-якого товару.

Однак, гроші самі мають вартість. Причому, грошова одиниця, яка є сьогодні, і грошова одиниця, яка очікується до одержання через деякий час, не є рівноцінними: мати певну суму грошей сьогодні завжди краще, ніж мати їх завтра (принцип діє незалежно від зміни загального рівня цін). Це пояснюється дією трьох основних факторів (рис.5) [8; с.95].

 

Рис. 5. Фактори, що впливають на зміну вартості грошей у часі.

Інфляція – явище, властиве практично будб-якій економіці, наслідком якого є знецінення грошей. Якщо уявити, що підприємство має вільні грошові кошти у розмірі 300000 грн., а темп інфляції на рік складає 20%, то вже в наступному році, якщо гроші не використовувалися, а зберігалися, їх купівельна спроможність знизиться і реальна вартість складатиме 240000 грн.

Ризик неодержання очікуваної суми також є достатньо очевидною причиною. Будь-який договір, згідно з яким очікується надходження грошових коштів у майбутньому, має ненульову ймовірність бути невиконаним взагалі або виконаним частково.

Зміст фактору обернення грошей полягає в тому, що кошти, як і будь-який актив, повинен з часом генерувати дохід за ставкою, яка задовольняє власника. Тому сума, очікувана до одержання через деякий час, повинна перевищувати початкову суму, якою володіє інвестор у момент прийняття рішення, на величину можливого доходу.

У будь-якому випадку, вартість однієї і тієї ж суми грошей завжди є більшою, ніж завтра, тому що вимірювання вартості грошей ґрунтується на можливості їх використання протягом певного періоду часу.

Саме на базі розрахунку вартості використання грошей протягом певного періоду часу і ґрунтуються концепції майбутньої та теперішньої вартості грошей, алгоритм визначення якої полягає в наступному.

Найпростішим видом фінансової угоди є одноразове надання в борг певної суми PV з умовою, що через якийсь час t буде повернена більша сума FV. Як відомо, результативність подібної угоди може бути охарактеризована двояко: або за допомогою абсолютного показника – (FV-PV), або шляхом розрахунку певного відносного показника. Абсолютні показники частіше всього не підходять для подібної оцінки у зв’язку з їх незрівнянністю в просторово-часовому аспекті. Тому використовують спеціальний коефіцієнт – ставку. Цей показник розраховується відношенням приросту вихідної суми до базисної величини, в якості якої можуть виступати PV або FV. Таки чином, ставка розраховується по одній з двох формул:

У фінансових розрахунках даних показник має назву “відсоткова ставка”, “відсоток”, “норма прибутку”: він представляє собою вираження у відсотках відношення суми нарахованого за повний інтервал доходу до суми, що є на початок даного інтервалу.

визначена таким чином відсоткова ставка називається обліковою ставкою або дисконтом. Даний показник розраховується як відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал до величини нарощеної суми, одержаної по закінченні цього інтервалу.

Очевидно, що обидві ставки взаємопов’язані, тобто, знаючи один показник, можна розрахувати інший:

або

в будь-якій простій фінансовій угоді завжди присутні три величини, дві з яких задані, а одна є шуканою.

Процес, в якому задані вихідна сума і відсоткова ставка, у фінансових розрахунках має назву нарощення. процес, в якому задані очікувана в майбутньому до отримання сума і коефіцієнт дисконтування, називається процесом дисконтування. В першому випадку мова йде про рух грошових потоків від сучасного до майбутнього, в другому – про рух від майбутнього до сучасного (рис. 6).

СУЧАСНЕ		МАЙБУТНЄ
Вихідна сума	Надходження	Повернена сума
Відсоткова ставка
	Дисконтування	Очікувана до отримання сума
Приведена сума
	Коефіцієнт дисконтування

Рис. 6. Логіка фінансовий операцій

Позичкові операції, що складають основу комерційних розрахунків, мають давню історію. Саме в цих операціях виявляється перш за все необхідність обліку часової цінності грошей.

Надаючи свої грошові кошти в борг, їх власник отримує певний дохід у вигляді відсотків, які нараховується по деякому алгоритму протягом певного проміжку часу. Оскільки стандартним часовим інтервалом у фінансових операціях є один рік, найбільш розповсюдженим варіантом є встановлення відсоткової ставки у вигляді річної ставки, яка передбачає одноразове нарахування відсотків після закінчення року з моменту отримання позики.

Відомі дві основні схеми нарахування відсотків: проста і складна.

Схема простих відсотків припускає незмінність бази, з якої відбувається нарахування.

Якщо на початку року інвестор розміщує на рахунку в банку суму Р під відсоток r, то через n років вкладник одержує:

Приклад: визначіть нарощену суму з вихідної суми в 4000 грн. при розміщенні її в банку на умовах нарахуванні простих відсотків, якщо річна ставка 13%, а період нарахування – 15 років.

Нарощена сума складатиме:

4000 * (1+15*0,13)=11800 грн.

Якщо простий відсоток нараховується протягом періоду, який менше року, то попередня формула трансформується в наступну:

Приклад: 125000 грн. надані підприємству в кредит на 5 місяців з 01.02. ц.з. за ставкою 18% річних, що нараховуються по схемі простих відсотків. Необхідно визначити суму кредиту до погашення.

Сума кредиту становитиме:

грн.

При нарахуванні складних відсотків черговий річний дохід визначається не з вихідної величини інвестованого капіталу, а із загальної суми, яка включає також і раніше нараховані, але незатребуваних інвестором відсотків. В цьому випадку відбувається капіталізація відсотків по мірі їх нарахування.

Відповідно до ідеології нарахування складних відсотків в кінці першого року розмір інвестованого капіталу дорівнюватиме ; в кінці другого ; в кінці n-го року - .

Приклад: На внесок в банк у розмірі 8500 грн. строком на 6 років нараховується 15 % річних за схемою складних відсотків. Яка сума буде на рахунку в кінці означеного періоду, якщо нарахування відсотків здійснюється щоквартально?

грн.

Використання в розрахунках складних відсотків у випадку багаторазового його нарахування більш логічно, оскільки в цьому випадку капітал, що генерує доходи, постійно зростає. При застосуванні простого відсотку доходи по мірі їх нарахування доцільно знімати для споживання або використання в інших інвестиційних проектах або поточній діяльності.

Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансових розрахунках, тому для зручності користування значення множника FM₁ (r, n), що називається мультиплікатором і забезпечує нарощення вартості, табульовані для різних значень r і n. Тоді формула алгоритму нарощення по схемі складних відсотків має вигляд:

,

де - мультиплікатор

Економічний замість множника FM₁ (r, n) полягає в наступному: він показує, чому буде дорівнювати одна грошова одиниця через n періодів при заданій відсотковій ставці r.

В практичних розрахунках для наочної та швидкої оцінки ефективності запропонованої ставки нарощення при реалізації схеми складних відсотків користуються приблизним розрахунком часу, необхідного для подвоєння інвестиційної суми, відомого як “правило 72-х”. Це правило полягає в наступному: якщо r – відсоткова ставка, то k=72/r являє собою число періодів, за яке вихідна сума збільшиться приблизно вдвічі.

Це правило добре спрацьовує для невеликих значень r (до 20%). Так, якщо річна ставка r=12%, то k=72/12=6.

Оцінюючи доцільність фінансових вкладень в той чи інший вид бізнесу, виходять з того, що визначають прибутковість цих вкладень. Дана задача зводиться до того, щоб порівняти інвестиції, які підприємець має зробити сьогодні, із грошових надходжень, які він отримає в майбутньому. Тобто виникає необхідність порівняння сум грошей в різні моменти часу. Для цього їх приводять до одного часового знаменника – до теперішнього часу.

Основна ідея даної процедури полягає в тому, щоб оцінити майбутні грошові надходження з позиції поточного моменту, тобто визначити величину суми Р, яка в майбутньому повинна скласти задану величину Р_n. В цьому випадку Р буде відповідати поточній (теперішній, приведеній) вартості Р_n.

Теперішня вартість – грошова вартість майбутніх доходів на теперішній час. Розрахунки теперішньої вартості здійснюють за допомогою дисконтування.

Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняльного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою наступної формули:

,

де - майбутня вартість;

- поточна вартість;

- коефіцієнт дисконтування.

Значення коефіцієнта дисконтування табульовані, а його економний зміст полягає в наступному: він відображає теперішню ціну однієї грошової одиниці майбутнього, тобто чому з позиції поточного моменту дорівнюватиме одна грошова одиниця, що циркулює в сфері бізнесу n періодів з моменту розрахунку при заданій відсотковій ставці r та частоті нарахування відсотків.

Приклад : Визначіть поточну вартість облігації з нульовим купоном номінальною вартістю 5000 і строком погашення 12 років, якщо прийнятна норма прибутку складає 14 %.

грн.

Або

грн.

Одним з основних елементів фінансового аналізу є оцінка грошового потоку С₁, С ₂,..., С_n, що генерується протягом ряду часових періодів в результаті реалізації будь-якого проекту. Елементи потоку С_n можуть бути або незалежними, або пов2язаними між собою певним алгоритмом. Часові періоди частіше всього передбачаються рівними. Крім того, для простоти викладення матеріалу передбачається, що елементи грошового потоку є односпрямованими, тобто немає чергування відтоку і притоку грошових коштів. Також вважається, що надходження, які генеруються в межах одного часового періоду, мають місце або на його початку, або в кінці. В першому випадку потік називається принумерандо, в другому – постнумерандо.

Крім того, слід знати, що оцінка грошового потоку може виконуватися в межах вирішення двох задач:

А) прямої, коли проводиться оцінка з позиції майбутнього (реалізується схема нарощення);

Б) зворотної, коли проводиться оцінка з позиції сучасного (реалізується схема дисконтування).

Перш, ніж розглянути методику оцінки грошових потоків постнумерандоі пренумерандо з позиції теперішнього і майбутнього, слід зауважити, що ключовим моментом у вищеназваних схемах є передумова про те, що аналіз здійснюється з позиції такого інвестора, який не накопичує отримані грошові кошти, а негайно інвестує їх з метою отримання додаткового доходу.

Розглянемо найбільш розповсюджену ситуацію, коли грошові надходження по роках змінюються. Тоді загальна постановка задачі буде наступною.

Нехай С₁, С ₂,..., С_n – грошовий потік; r – коефіцієнт дисконтування. Необхідно визначити вартість даного грошового потоку з позиції майбутнього і сучасного.

Для прямої задачі майбутня вартість грошового потоку принумерандо S_pre розраховується за формулою:

Якщо оцінюється потік постнумерандо, то майбутня його вартість S_pst визначається як сума нарощених надходжень за наступною формулою:

Зворотня задача, яка передбачає оцінку з позиції поточного моменту, для грошового потоку постнумерандо виконується за допомогою формули:

Приведена вартість потоку принумерандо в звгвльному можу бути розрахована за формулою:

Потік, в якому грошові надходження в кожному періоді однакові за величиною, називаються ануїтетом. Як і в загальному випадку, виділяють два типи ануїтетів: постнумерандо і принумерандо.

Прикладом ануїтету постумерандо можуть служити рентні платежі, що регулярно надходять за користування земельною ділянкою, яка здана в оренду, якщо договором передбачається регулярна оплата оренди по закінченню чергового періоду. В якості ануїтету принумерандо виступає, наприклад, схема періодичних грошових внесків на банківський рахунок на початку кожного місяця з метою накопичення достатньої суми для великої купівлі.

Пряма задача оцінки ануїтету при заданих величинах регулярного надходження (Р) і відсотковій ставці (r) передбачає оцінку майбутньої вартості, і для ануїтету постнумерандо вирішується за допомогою формули*:

Економічний зміст мультиплікатора

полягає в наступному: він показує, чому дорівнюватиме сумарна величина ануїтету в одну грошову одиницю до кінця строку його дії. Передбачається, що здійснюється лише нарахування грошових сум, а їх вилучення може бути зроблено по закінченні строку дії ануїтетів.

Відповідна розрахункова формула для ануїтету принумерандо має вигляд:

Загальне ставлення зворотної задачі оцінки ануїтету постнумерандо також достатньо наочна. В цьому випадку здійснюється оцінка майбутніх грошових надходжень з позиції поточного моменту, під яким в даному випадку розуміють момент часу, з якого починають відраховуватися рівні часові інтервали, що входять до ануїтету.

Загальна формула оцінки поточної вартості ануїтету постнумерандо має вигляд:

Економічний зміст коефіцієнта дисконтування

полягає в наступному: він показує, чому дорівнює з позиції поточного моменту величина ануїтету з регулярними грошовими надходженнями в розмірі однієї грошової одиниці, яке продовжується n рівних періодів із заданою відсотковою ставкою r.

Відповідна розрахункова формула для ануїтету пренумерандо має вид:

 

[1] Завдяки 2%- відсотковій ставці підприємство-продавець скоріше повертає гроші в обіг, що виключає необхідність залучати позичкові кошти.

* У зв’язку з тим, що ануїтети – це окремий випадок грошового потоку, формули розрахунку їх майбутньої і теперішньої вартості виводяться з базових формул, властивих логіці оцінки грошових потоків.