Производные высших порядков

Как уже отмечалось, производная функции сама является некоторой функцией её аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Назовём производной первого порядка функции .

Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются

Производная п- го порядка является производной от производной (п-1) порядка, т.е. .

Пример. Найти производную п- го порядка от функции .

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Если функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени , а вторая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент, т.е. , .