Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно

Предположим, что функции и имеют производные, причём на некотором промежутке. Отсюда вытекает строгая монотонность функции и, следовательно, однозначность обратной функции . По теореме о производной обратной функции, функция имеет производную , а функция по теореме о производной сложной функции имеет производную . Следовательно или .

Выведенная формула даёт возможность находить производную от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.

Пример. Пусть Найти .

Решение: имеем , , следовательно , т.е. .

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно, . Тогда . Отсюда , т.е. .

Если функция задана в неявном виде , то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример. Найти производную функции, заданную уравнением .

Решение. Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство

. Из полученного соотношения

следует, что , т.е. .

Заключение.

Формулы и правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции являются основными формулами дифференциального исчисления. На основе правил и формул дифференцирования можно сделать важный вывод: производная любой элементарной функции также элементарная функция. Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.