Производная обратной функции

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x=φ(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = φ(y) по х:

, следовательно , или , тогда

или ч.т.д.

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg х.

Функция arctg х является функцией, обратной функции tg х, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.