Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 4.2.2. Функция P(x; y) называется однородной степени n, если для любого числа k имеет место тождество:

(4.2.6)

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Определение 4.2.3. Дифференциальное уравнение первого порядка (4.2.6) называется однородным, если коэффициенты и при дифференциалах переменных х и у являются однородными функциями одной и той же степени.

При помощи подстановки

(или ),

где u – неизвестная функция, однородное уравнение (4.2.6) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 4.2.2. Решить дифференциальное уравнение:

.

○ Здесь , – однородные функции первой степени, поэтому данное уравнение – однородное.

Положим y = ux, тогда

dy = xdu + udx

Подставляя данные выражения в уравнение, получим:

(x + ux) dx + x (xdu + udx)=0 или

xdx + uxdx + x²du + uxdx =0

x ² du +(2 u +1) dx =0.

,

,

, откуда и .

Обозначив , получим: .

Решим уравнения и . Получим . Второе из них удовлетворяет найденному выше решению нашего уравнения.

Т.о. окончательно имеем , x =0. ●