Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

(4.3.13)

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

,

коэффициенты которого и непрерывны.

Пусть

и

– частные решения уравнения (4.3.13), то есть решения, не содержащие произвольных постоянных.

(4.3.14)

Определение 4.3.1. Два решения и называются линейно зависимыми, если можно подобрать постоянные числа и , не равные одновременно нулю такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, то есть

.

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения и называются линейно независимыми. Иными словами, если функции и линейно независимы и имеет место тождество (4.3.14), то .

Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. если

(4.3.15)

(или наоборот ), где постоянная а – коэффициент пропорциональности.

Зная два линейно независимых решения и уравнения (4.3.13), легко получить общее решение этого уравнения. А именно, имеет место теорема.

(4.3.16)

Теорема 4.3.1. Если и - линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка (4.3.13), то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение уравнения (4.3.13) имеет вид

,

где и – произвольные постоянные (, ).

Итак, чтобы найти общее решение уравнения (4.3.13), достаточно знать два его частных линейно независимых решения и .