Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной, следующий:

(4.3.1)

.

Общее решение

(4.3.2)

этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и .

Геометрически общее решение (4.3.2) представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров и . Вообще говоря, через каждую точку М ₀(x ₀, y ₀) плоскости x O y проходит пучок интегральных кривых (рис. 4.2).

 

Для выделения из общего уравнения (4.3.1) некоторого частного решения необходимо иметь два начальных условия: у = у ₀, при х = х ₀. Тогда

(4.3.3)

Из системы (4.3.3) можно, вообще говоря, определить постоянные и , и тем самым найти частное решение

,

(4.3.4)

удовлетворяющее уравнению (4.3.1) и заданным начальным условиям

и (задача Коши).

 

(4.3.5)

В случае

решение находим двукратным интегрированием.

Интегрируя, будем иметь

.

Интегрируя еще раз, окончательно получаем

,

где и – произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.