2018-01-08
490
Для подробного описания особенностей распределения используют
дополнительные характеристики – моменты распределения, предложенные
русским математиком П.Л. Чебышевым и успешно примененные А.А.
Марковым для рассмотрения возможностей использования закона
нормального распределения при изучении сумм большого, но конечного
числа независимых случайных величин.
Моментом распределения называется средняя арифметическая
величина тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений
признака от определенной исходной величины.
Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений
вариантов х от некоторой постоянной величины А:
М k
= (x - A)k
.
При исчислении средней в качестве весов могут быть использованы
частоты, частости или вероятности. При использовании в качестве весов
частот или частостей моменты называются эмпирическими, а при
использовании вероятностей – теоретическими.
Порядок момента определяется величиной k. Эмпирический момент k-
го порядка определяется как отношение суммы произведений k-х степеней
отклонений вариантов от постоянной величины А на частоты к сумме:
∑
(x i -
A)k
f
i M
k
=
i
∑
f
i
.
i
В зависимости от выбора постоянной величины А различают три вида
моментов:
1. Начальные моменты (М
k
) получаются, если постоянная величина
А=0.
22 2. Условные и начальные относительно х
0
моменты (m
k
) получаются
при А равном не нулю, а некоторой производной величине х
0
(начало
отсчета).
3. Центральные моменты (μ
k
) получаются, если за постоянную
величину А взять среднюю арифметическую (A = x).
В статистической практике пользуются в основном моментами 1-го, 2-
го, 3-го и 4-го порядков, которые представлены в таблице.
Таблица – Виды моментов распределения четырех порядков
Виды моментов
Порядок
Начальные Центральные Условные
1-й
M 1
∑
x i f ∑
f
i
(1
)
∑
∑
2-й 2
2 2
= i
=
x
μ
=
∑
x i - x ∑
f
i
f
i
m
=
(x i -
A)
f
i f
i
M ∑
x ∑
f
()2
∑
∑
3-й 3
3 3
= i f i
=
x
i
μ
=
∑
x i - x ∑ f
i
f
i
m
=
(x i -
A)2
f
i f
i
M ∑
x ∑
f
()3
∑
∑
4-й 4
4 4
= i f i
=
x
i
μ
=
∑
x i - x ∑
f
i
f
i
m
=
(x i -
A)3
f
i f
i
∑
∑
()4
∑
∑
Анализируя формулы моментов распределения можно сделать выводы:
o начальный момент первого порядка представляет собой среднюю
арифметическую и используется как показатель центра распределения
(
M = x i
f
i f
i
=
x
μ
=
∑
x i - x ∑ f
i
f
i
m
=
(x i -
A)4
f
i f
i
M = x);
o начальные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют
самостоятельного значения, а используются для упрощения вычислений
центральных моментов;
o центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю в соответствии
с нулевым свойством средней арифметической (
μ 1
= 0);
23 o центральный момент 2-го порядка представляет собой дисперсию и
служит основной мерой колеблемости признака (μ 2
σ= 2
);
o центральный момент 3-го порядка служит мерой асимметрии
распределения, а если распределение симметрично, он равен нулю (
μ 3
= 0);
o центральный момент 4-го порядка применяется при вычислении
показателя эксцесса;
o условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют
самостоятельного значения, а используются для упрощения вычислений
центральных моментов.
Для обобщающей характеристики особенностей формы распределения
применяются кривые распределения. Кривая распределения выражает
графически (полигон, гистограмма) закономерность распределения единиц
совокупности по величине варьирующего признака.
Различают эмпирические и теоретические кривые распределения.
Эмпирическая кривая распределения – это фактическая кривая
распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются
как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.
