Под теоретической кривой распределения понимается кривая

данного типа распределения в общем виде исключающего влияние

случайных для закономерности факторов.

Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых

распределения и сопоставления их с теоретическими в статистике часто

используют нормальное распределение. Для этого необходимо установить

закон распределения (функцию, связывающую f с x

i

):

1. для того, чтобы предвидеть частоты, спрогнозировать их при

заданном объеме совокупности;

2. знание закона распределения помогает понять характер тех сил

(факторов), которые образуют распределения;

3. позволяет оценивать индивидуальные отклонения по t

i

.

Теоретический ряд распределения по заданному (предполагаемому)

закону строится исходя из фактических их параметров распределения

x,,σ ∑ f (объема совокупности – n) и вероятностей попадания единиц

наблюдения в каждый интервал при данном предполагаемом законе

распределения (гипотеза о нормальном распределении не отвергается).

26 Функция нормального распределения, т. е. простейшее каноническое

уравнение нормальной кривой выглядит следующим образом:

2 ()

2 t xF

= σ

π ∙ i

-

.

Из данной формулы видно, что ординаты (частоты) нормальной кривой

являются функцией нормированного отклонения t:

t = xx i

- σ

.

Поэтому необходимо вычислить нормированные отклонения для

данного статистического распределения.

Эмпирические частоты распределения признака отличаются от

теоретических частот. Их совпадение случается очень редко. Важно

установить, являются ли разности между эмпирическим и теоретическими

частотами результатом действия случайных причин или эта разница

существенна и обусловлена неправильно подобранной функцией (т.е.

предположение о распределении признака по данному закону необходимо

признать ошибочным).

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому

используются критерии согласия, которые позволяют установить

вероятность того, что расхождение между частотами рядов случайны.

Принимается нулевая гипотеза (т.е. предположение о чем-либо) о том,

что расхождение случайно. Вероятность нулевой гипотезы обозначается Р

:

если Р

>0,05 – то различия между рядами случайны;

если Р

<0,05 – нулевая гипотеза отвергается и доказывается то, что

расхождение между рядами вызвано неправильно подобранным законом

распределения.

Для оценки близости распредления используются следующие

критерии:

1. Критерий Хи-квадрат Пирсона (χ 2);

2. Критерий Романовского на базе χ 2;

3. Критерий Колмогорова и Смирнова – λ.

(1) Критерий согласия Пирсона рассчитывается по формуле:

χ 2

=

∑

(

ff -

) 2

,

m

где

m

m

ф f

f

– теоретические частоты;

f ф

– фактические (эмпирические) частоты.

При использовании χ 2 имеются ограничения:

− ∑ f ф

=

∑ f m;

− в интервал должно входить не менее 10 единиц наблюдения.

При исчислении χ 2 используются понятия: число степеней свободы,

под k понимают количество независимых переменных, которые могут

принимать произвольные значения, не изменяя заданной характеристики

(средней величины). Число степеней свободы рассчитывается:

rmk = -,1- где m – число групп;

r – число параметров (характеристик теоретического закона

распредления).

(2) Критерий Романовского на базе χ 2 рассчитывается по формуле:

χ

k

,

где χ 2 – критерий Хи-квадрат Пирсона;

k – число степеней свободы.

Если R>3, расхождение рядов существенно и теоретический закон

подобран неправильно;

Если R<3, то различие между рядами несущественно, распределение

близко к нормальному.

R

=

2 2 -

k

28 (3) Критерий Колмогорова – Смирнова:

λ D ∑

,

где D – наибольшая разность между накопленными частотами

теоретического и эмпирического рядов;

∑ f – объем совокупности.

=

∑ (ф

- m)

=

f

D ff Для величины λ математиком Н.В. Смирновым были вычислены

вероятности Р

0

того, что расхождения несущественно. Если Р

0

>0,05,

расхождение можно считать случайным. Это значит, что не отвергается

гипотеза о соответствии данного ряда определенному закону распределения.

Необходимое условие для использования критерия Колмогорова: число

наблюдений должно быть не меньше ста. По специальным таблицам

вероятностей P)(λ определяют близость к 1, с которой можно утверждать,

что отклонения фактических частот от теоретических являются случайными,

а данное распределение является нормальным.

В статистике широко используются различные виды теоретических

распределений, кроме нормального распределения, – биномиальное

распределение, распределение Пуассона и др. каждое из теоретических

распределений имеет специфику и свою область применения в различных

отраслях знания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Раскройте сущность, значение и условия типичности средней

величины.

2. Какие виды средних величин существует в статистике?

3. На чем основывается выбор вида средней величины?

4. Какие формы средней Вы знаете?

5. Перечислите математические свойства средней величины.

6. Назовите показатели, которые являются структурными средними

величинами, и раскройте методику их расчета.

7. Что такое вариация признака?

8. Перечислите показатели, которыми измеряется вариация признаков.

9. Что такое дисперсия и как она вычисляется?

10. Как вычисляется среднее квадратическое отклонение и коэффициент

вариации?

11. В чем заключается смысл правила сложения дисперсий?

12. Какой показатель определяется на основании правила сложения

дисперсий?

13. Какие существуют формы распределения?

14. Как рассчитываются показатели асимметрии и эксцесса

распределения?

15. Какие критерии согласия вычисляются при сравнении

эмпирического и теоретического распределений вариационных рядов?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гинзбург, А.И. Статистика / А.И. Гинзбург. – СПб: Питер, 2002. –

128 с.

2. Годин, А.М. Статистика: учебник / А.М. Годин. – 2-е изд., перераб.

– М.: Дашков и К, 2004. – 472с.

3. Гусаров, В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов / В.М. Гусаров.

– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 463с.

4. Елисеева, И.И. Общая теория статистика: Учебник. / И.И. Елисеева,

М.М. Юзбашев; Под редакцией чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. – 4-е изд.,

перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 480 с.

5. Ефимова, М. Р. Общая теория статистики: учебник. / М.Р. Ефимова,

Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. –

416с.

6. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении

коммерческой деятельности: Учебник / А.И. Харламова, О.Э. Башина, В.Т.

Бабурин и др.; Под редакцией О.Э. Башиной, А.А. Спирина, – 5-е изд.,

перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 440 с.: ил.

7. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А.

Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 416 с.

8. Практикум по общей теории статистики и сельскохозяйственной:

Учеб. пособие / И.Д. Политова, С.С. Сергеев, А.П. Зинченко, А.М. Гатаулин.

– 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Статистика, 1980. – 303 с.

9. Рудакова, Р.П. Статистика: учеб. пособие / Р.П. Рудакова. – СПб.:

Питер, 2007. – 288 с.:ил.

10. Руденко, В.И. Статистика: пособие студ. для подгот. к экзаменам /

В.И. Руденко. – М.: Дашков и К, 2004. – 188с.

11. Ряузов, Н.Н. Общая теория статистики: Учебник. – 3-е изд., перераб.

и доп. – М.: Статистика, 1979. – 344 с.

31 12. Сиденко, А.В. Статистика: Учебник. / А.В. Сиденко, Г.Ю. Попов,

В.М. Матвеева. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2000. – 464 с.

13. Теория статистики: Учебник / Под ред. Г.Л. Громыко. – М.:

ИНФРА-М, 2000. – 414с.

14. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – 4-е

изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 656 с.

15. Теория статистики с основами теории вероятностей / Под ред.

И.И.Елисеевой. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 446с.