2018-01-08
4640
Для нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби 
следует выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде
где 
− многочлен (целая часть при делении); 
− остаток от деления. Очевидно, что второе слагаемое есть уже правильная рациональная дробь.
Примеры 17. Вычислить интегралы:
1) 
.
Решение: Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, т.е.
.
Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей, получим
.
Полагая в полученном тождестве 
, имеем 
.
Полагая 
, имеем 
.
Таким образом, искомый интеграл
.
2) 
.
Решение: Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Разлагая ее на сумму простейших дробей, получим
.
Приведем правую часть полученного соотношения к общему знаменателю:
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов будем комбинировать два вышеизложенных способа.
Полагая 
, получим 
.
При 
имеем 
.
Для определения коэффициента 
приравняем коэффициенты при 
в обеих частях тождества: 
, откуда 
.
|
|
|
В результате находим искомый интеграл:
.
3) 
.
Решение: Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей.
.
Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
.
Полагая 
, находим 
: 
.
Коэффициенты 
найдем, приравнивая коэффициенты при 
, 
и свободные члены в тождестве:
при 
: 
;
при 
: 
;
при 
: 
.
Решив полученную систему, получим 
, 
, 
.
Следовательно,
.
В последнем интеграле квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней. Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе.
.
Тогда
.
Таким образом, имеем
.
4) 
.
Решение: Квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней. Поэтому подынтегральная дробь раскладывается на слагаемые следующим образом:
.
Следовательно,
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
:
при 
: 
;
при 
: 
;
при 
: 
;
при 
: 
.
Решив полученную систему, получим 
, 
, 
, 
. Следовательно,
.
Для нахождения последнего интеграла воспользуемся ранее указанной рекуррентной формулой:
.
Итак, находим искомый интеграл:
.
5) 
.
Решение: Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим
.
Следовательно,
.
Первый интеграл интегрируется непосредственно
Во втором интеграле замечая, что 
, разложим правильную рациональную дробь
на простейшие дроби:
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
.
Полагая 
и 
, находим 
и 
.
Для нахождения коэффициента 
приравняем коэффициенты при 
в тождестве. Получим 
.
Поэтому
.
Наконец, находим искомый интеграл
|
|
|
.
