Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Условным экстремумом функции z=f(x,y) в точке M0(x0;y0) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи φ(x,y)=0.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие φ(x,y)=0. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки.

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2. Если в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум.

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области.

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить три шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции z=f(x,y) в замкнутой области D.

1. Найти критические точки функции z=f(x,y), принадлежащие области D. Вычислить значения функции в критических точках.
2. Исследовать поведение функции z=f(x,y) на границе области D, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений. Вычислить значения функции в полученных точках.
3. Из значений функции, полученных в предыдущих двух пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.