Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов)

1. Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть , где функция имеет непрерывнуюпроизводную , а между переменными и существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

2. Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

При нахождении функции по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

3.Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

1. правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - , в числителе левой части получим некоторый многочлен с неизвестными коэффициентами;
2. используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

1. два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной . В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.