Дискриминант квадратного уравнения - выражение - по знаку которого судят о наличии этого уравнения действительных корней. Различные возможные случаи в зависимости от значения D.
1. Если D>0, то уравнение имеет два корня: и
Пример: Рассмотрим уравнение , где а=2; b= -3; с=1
; 2 корня
Ответ: 0,5 и 1
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень:
Пример: Рассмотрим уравнение , где а=9; b= 6; с=1
; 1 корень
Ответ: - 0,3
3. Если D <0, то уравнение не имеет корней.
Пример: Рассмотрим уравнение , где а=2; b=1; с=2,
, корней нет.
Теорема Виета
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Приведенное квадратное уравнение имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. На примере видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Необходимо доказать, что любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни, обладает таким свойством.
|
|
Если уравнение не приведенное, например 2 +3x+8=0 его можно сделать приведенным. Для этого мы все уравнение поделим на первый коэффициент и получим: и решаем как обычно.
Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид:
Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:
Дискриминант этого уравнения D равен
и
Найдем сумму и произведение корней
Следовательно,
Пример:рассмотрим уравнение
D =1, уравнение имеет два корня, и , p= -3; q= 2.
По теореме Виета + = - p, значит ;
= q, значит .
Следовательно,x1 = 2 и x2 = 1 являются корнями уравнения
При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле.
Квадратное уравнение имеет корни х1 и х2 равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения
По условию, m+n=-p, a m n=q. Значит, уравнение можно записать в виде . Подставив вместо х число, получим:
Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.
Пример: рассмотрим уравнение
По формуле корней квадратного уравнения получаем:
отсюда х1= -8; х2= 5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел - 8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения уравнении
|
|
7) Способы рационального решения квадратного уравнения
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
1) Еслиа+ b+c= 0, то =1,
Пример: рассмотрим уравнение
Значит корнями этого уравнения являются 1 и -5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта
Отсюда следует, что еслиа+b+c= 0,то ,
2) Еслиb= а+c, то = –1, =
Пример: рассмотрим уравнение
Если b= а+c, то ,
Значит корнями этого уравнения являются -1 и -3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
Отсюда следует, что если b= а+c, то ,
Способ переброски
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:
,корни уравнения необходимо поделить на 2.
Ответ: 5; 0,5.