Если в уравнении перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
Построим графики зависимостей и
График первой зависимости - парабола,проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.Возможны следующие случаи:прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссыточек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратноеуравнение не имеет корней.
х1 х2 х
Пример: решим графически уравнение
Запишем уравнениев виде
Построим параболу и прямую .
Прямую можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами и .
11)Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает осьабсцисс в точках B и D , где и - корни уравнения , и проходит через точки А(0; 1) и C на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеемOB OD=AO OC, откуда OC=OB OD/OA=x1 x2/1= .
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
Итак:
1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох в точке В(; 0), где - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.
a)AS>SB,R> .
Два решения x1и x2
б) AS=SB,R= .
Одно решение x1.
в) AS<SB,R< .
Нет решений.
Пример:
Решим уравнение
Определим координаты точки центра окружности по формулам:
x=
y=
Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.