double arrow

Функция обратно пропорциональной зависимости (гипербола)

2

  График обратно пропорциональной зависимости — кривая (гипербола), состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. k— коэффициент обратной пропорциональности, действительное число (k≠0). k>0, функция убывающая, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. k<0, функция возрастающая, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Область определения есть множество всех чисел, отличных от нуля, т.е. (−∞; 0)∪(+∞;). Гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко приближается к ним, т.к. х≠0.

 

 

27.

При a > 0, a = 1, определена функция y=ax , отличная от постоянной. Эта функция называетсяпоказательной функцией с основанием a.

Основные свойства показательной функции y = a x при a > 1:

  • Область определения функции - вся числовая прямая.
  • Область значений функции - промежуток (0;+ ).
  • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , тоax1< ax2 .
  • При x = 0 значение функции равно 1.
  • Если x > 0 , то a x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

 




 

Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1:

  • Область определения функции - вся числовая прямая.
  • Область значений функции - промежуток (0;+ ).
  • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , тоax1> ax2 .
  • При x = 0 значение функции равно 1.
  • Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a x > 1.

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

    • ax1 ax2= ax1+ x2, для всех x1и x2.
    • ax=(ax)−1=1ax для любого x.
    • nax=axn для любого x и любого n N n =1 .
    • (ab)x = ax bx для любых a, b > 0; a,b =1 .
    • (ba)x=bxax для любых a, b > 0; a,b =1 .
    • ax1 = ax2, то x1= x2.

 

28.

Функцияy=logaх(гдеа> 0,а =1) называется логарифмической.

Построение графиков. График логарифмической функции logaх можно построить, воспользовавшись тем, что функция logaх обратна показательной функции y = ax. Поэтому достаточно построить график функции y= ax, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

Свойства функции у = logaх , a > 1:

  1. D(f) = (0; + );
  2. не является ни четной, ни нечетной;
  3. возрастает на (0; + );
  4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;
  5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
  6. непрерывна;
  7. E(f) = (- ;+ );
  8. выпукла вверх;
  9. дифференцируема.

 

Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 :

  1. D(f) = (0;+ );
  2. не является ни четной, ни нечетной;
  3. убывает на (0; + );
  4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;
  5. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
  6. непрерывна;
  7. E(f) = (-; + );
  8. выпукла вниз;
  9. дифференцируема.

 



Свойства функции у = ln х :

  1. D(f) = (0; + );
  2. не является ни четной, ни нечетной;
  3. возрастает на {0; + );
  4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;
  5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
  6. непрерывна;
  7. E(f) = (- ;+ );
  8. выпукла вверх;
  9. дифференцируема.

 

 

 

 

29.Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x n , x > 0.

Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.
Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .

К основным свойствам степенной функции y = x a при a > 0 относятся:

  • Область определения функции - промежуток (0; + ).
  • Область значений функции - промежуток (0; + ).
  • Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  • Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 <x2 то ar1 < ar2 .
  • График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = x a при a < 0 относятся:

  • Область определения функции - промежуток (0; + ).
  • Область значений функции - промежуток (0; + ).
  • Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  • Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 <x2 то ar1 > ar2 .
  • График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:



    • xa1xa2 = xa1 + a2
    • xa1: xa2 = xa1 - a2
    • (xa1)a2 = xa1 a2
    • xa1 > xa2, x > 1, a1 > a2
    • xa1 < xa2, 0 < x < 1, a1 < a2

 

30.

Y = cos x

а) Область определения: D (cos x) = R .

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: cos x = 0 при x = + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

;
.

. ж) Промежутки монотонности:

;

.

з) Экстремумы:

; .

График функции y= cos x изображен на рисунке.

 

31.

Y=sin x

а) Область определения: D (sin x) = R .

б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: sin x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности:
;

.

з) Экстремумы:
; .

График функции y= sin x изображен на рисунке.

32.

Y=tg x

а) Область определения: D (tg x) = R\ { /2 + n( n Z) }.

б) Множество значений: E (tg x ) = R .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y= tg x изображен на рисунке.

 

33.

 

Размещения.

 

Размещениями из элементов по называются соединения, которые можно образовать из элементов, собирая в каждое соединение по элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

 

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

 

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из элементов по , обозначается символом и вычисляется по формуле:

,

(всего k множителей).

 

Пример:

 

Перестановки.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

 

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:

abc, bac, cab, acb, bca, cba.

 

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом

 

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)

 

Пример:

 

Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

 

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:

ab, ac, bc.

 

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом :

(В числителе и знаменателе по k множителей).

Пример:

Полезные формулы:

Например:



2




Сейчас читают про: