2018-01-08
1232
Предел 
(1) называется несобственным интегралом функции 
от 
до бесконечности и обозначается 
.
Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел (1) равен бесконечности или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяются несобственные интегралы 
и 
.
Все эти интегралы называются несобственными интегралами первого рода.
Пример 1
Вычислить 
.
Решение.
Согласно таблице интегралов, 
.
Тогда 
Интеграл сходится.
Пример 2
Вычислить 
.
Решение.
, искомый интеграл расходится.
Пример 3
Вычислить 
.
Решение.
Согласно таблице интегралов, 
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция имеет бесконечный разрыв в точке 
, а в остальных точках промежутка 
непрерывна. Несобственным интегралом функции от до 
называется предел 
.
Он обозначается 
(2).
Если предел существует и конечен, говорят, что интеграл (3) сходится, в противном случае расходится.
|
|
|
Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с отрезка 
, то принимается, что 
причем предполагается, что оба интеграла в правой части сходятся. Эти интегралы называются несобственными второго рода.
Пример 1
Вычислить 
.
Решение.
Интеграл несобственный, так как подынтегральная функция стремится
к 
при 
.
при 
.
Следовательно, искомый интеграл сходится и равен 
.
Пример 2
Вычислить 
.
Решение.
Интеграл – несобственный, так как подынтегральная функция внутри 
обращается в бесконечность при 
. Имеем 
.
По определению несобственного интеграла второго ряда 
.
Аналогично получаем 
.
Таким образом 
.
Пример 3
Вычислить 
.
Решение.
Следовательно, несобственный интеграл расходится.
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите виды несобственных интегралов первого рода.
2. Какие интегралы называются несобственными второго рода?
3. Каким образом определяется сходимость (расходимость) несобственного интеграла?
