Формула интегрирования по частям для определенного интеграла принимает следующий вид: .
Применение этой формулы рациональнее, чем предварительное вычисление неопределенного интеграла, особенно когда приходится несколько раз в одном примере применять формулу интегрирования по частям.
Пример 1
Вычислить .
Решение.
Пусть ; тогда , .
Имеем .
Ответ.
Пример 2
Вычислить .
Решение.
Пусть , ; тогда , .
Имеем
Ответ.
Пример 3
Вычислить .
Решение. Пусть , тогда
Имеем (1).
Вычислим Пусть тогда
Имеем (2)
Подставляя в найденное значение , получаем
Ответ.
Вопросы для самопроверки
1. В чем заключается идея метода замены переменной?
2. Как определяются новые пределы интегрирования при замене переменной?
3. В чем суть формулы интегрирования по частям?
4. Что происходит с пределами интегрирования в случае применения формулы интегрирования по частям?
Примеры для самостоятельного решения
Решить методом замены переменной.
|
|
1) 11) 21)
2) 12) 22)
3) 13) 23)
4) 14) 24)
5) 15) 25)
6) 16) 26)
7) 17 27)
8) 18) 28)
9) 19) 29)
10) 20) 30)
Решить по формуле интегрирования по частям:
1) 4) 7)
2) 5) 8)
3) 6) 9)
3 Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла