2018-01-08
227
Определение. Системой линейных уравнений, состоящей из m уравнений с n неизвестными 
, называется система вида
где 
– некоторые числа.
Определение. Матрицей системы называется матрица
.
Определение. Столбцом свободных членов называется вектор-столбец
.
Определение. Столбцом неизвестных называется вектор-столбец
.
Тогда в матричной записи система линейных уравнений может быть записана в виде 
.
Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица, полученная приписыванием к А справа после вертикальной черты столбца свободных членов 
, обозначаемая (А | ).
Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех ее уравнений равны нулю, и неоднородной – в противном случае.
Определение. Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор n чисел (n -мерный вектор-столбец) 
, при подстановке которого в систему линейных уравнений вместо 
получаем систему тождеств.
Определение. Общим решением системы линейных уравнений называется совокупность всех ее решений.
|
|
|
Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае.
Специальный случай.
Рассмотрим системы линейных уравнений с квадратной матрицей, определитель которой неравен нулю.
Теорема (правило Крамера). Система из n уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это решение находится по формулам
(для всех 
),
где через 
обозначен определитель матрицы системы, а через 
– определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i - го столбца столбцом свободных членов.
Доказательство. Возьмем расширенную матрицу системы и припишем к ней сверху произвольную ее строку, например j -ю. В результате получится квадратная матрица порядка n +1. В этой матрице две одинаковые строки, и поэтому ее определитель равен нулю:
=0.
