Операции над матрицами. Определение. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С той же размерности

Определение. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности m × n называется матрица С той же размерности, элементы которой равны (; ).

Для обозначения суммы двух матриц используется запись . Операция получения суммы матриц называется их сложением.

Теорема. Сложение матриц коммутативно, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением суммы двух матриц и коммутативностью сложения чисел , убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Теорема. Сложение матриц ассоциативно, т. е.

Доказательство. Пользуясь определением суммы двух матриц и ассоциативностью сложения чисел, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Эти теоремы позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Определение. Произведением матрицы А (размерности m × n) на действительное число называется матрица С той же размерности, элементы которой равны (; ).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись или . Операция получения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Теорема. Умножение матрицы на число ассоциативно относительно числового множителя, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением произведения матрицы на число и ассоциативностью умножения чисел, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Теорема. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения матриц, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением произведения матрицы на число и дистрибутивностью умножения чиселотносительно их сложения, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Теорема. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел, т. е. .

Определение. Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С той же размерности, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А.

Для обозначения разности двух матриц используется запись . Операция получения разности матриц называется их вычитанием. Легко убедиться, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу .

Определение. Нулевой (не по внешнему виду, а по роли в алгебраической структуре) называется такая матрица О, что для любой матрицы А верно .

Легко убедиться, что единственной такой матрицей является матрица, которую мы раньше назвали нулевой по внешнему виду, т. е. матрица размерности той же, что и А, состоящая из одних нулей.

Определение. Противоположной к матрице А называется такая матрица (– А) той же размерности, что и А, для которой верно .

Легко убедиться, что (– А)= – единственная такая матрица для каждой матрицы А. Если А = О, то она противоположна сама себе.

Определение. Произведением матрицы А, имеющей размерность m × n, на матрицу В, имеющую размерность n × p, называется матрица С, имеющая размерность m × p, элементы которой равны (; ; ).

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись . Операция получения произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. Оба произведения и можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В, число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы и будут квадратными, но размерности их будут, вообще говоря различными. Для того чтобы оба произведения и не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Теорема. Умножение матриц (при условии, что оно определено) ассоциативно, т. е.

Доказательство. Чтобы произведения были возможны, необходимо, чтобы матрица А имела размерность m × n, матрица В имела размерность n × p, а матрица С имела размерность p × r. Тогда элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно j и k. ■

Теорема. Умножение матриц (при условии, что оно определено) дистрибутивно относительно сложения матриц, т. е. или .

Доказательство. Пользуясь определениями перемножения и сложения матриц и дистрибутивностью умножения чиселотносительно их сложения, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Вопрос о коммутативности произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинаковой размерности, поскольку только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков.

Легко убедиться, что произведение двух квадратных матриц, вообще говоря, некоммутативно.

Действительно, пусть , . Тогда АВ = ВА = .

Определение. Единичной (не по внешнему виду, а по роли в алгебраической структуре) называется такая матрица Е, что для любой квадратной матрицы А верно или .

Легко убедиться, что единственной такой матрицей является матрица, которую мы раньше назвали единичной по внешнему виду, т. е. матрица размерности той же, что и А, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные – нулю. Действительно, если предположить, что – другая единичная матрица, то по определению . Причем , т. е. матрица Е является как левой единичная, так и правой единичной матрицей, поскольку коммутирует с любой квадратной матрицей.

Обратная матрица

Определение. Обратной к квадратной матрице А называется такая матрица той же размерности, что и А, для которой верно или .

Легко убедиться, что если для матрицы А существует правая обратная матрица В, т. е. , то она единственная, и существует левая обратная матрица С, которая совпадает с В, т. е. . Действительно, равенства показывают, что всякая левая обратная матрица С совпадает с В. Аналогично показывается, что всякая правая обратная матрица совпадает с С, а на основании выше доказанного, совпадает и с В.

Остался открытым вопрос существования обратной матрицы.

Определение. Невырожденной называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

Теорема. Обратная матрица существует у невырожденных матриц и только у них.

Доказательство. Пусть матрица А – невырожденная, т. е. . Тогда существует матрица

где – алгебраическое дополнение элемента , определяемое как = , где – минор элемента . Покажем, что матрица В является обратной для А, т. е. матрица С = АВ является единичной.