Критерий совместности

 

Вернемся к произвольной системе m уравнений с n неизвестными.

Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Покажем, что если к матрице системы применить элементарное преобразование строк, то система, соответствующая полученной матрице, будет равносильна изначальной системе.

Элементарному преобразованию первого типа соответствует перемена местами двух строк системы. Очевидно, новая система будет равносильна старой.

Элементарному преобразованию второго типа соответствует замена одной из строк (например i -й) системы на сумму этой строки и другой строки (например j -й) системы, умноженной на какое-либо число (например ). Поскольку от новой системы к старой также можно перейти с помощью одного преобразования строк второго типа, то достаточно показать, что всякое решение старой системы будет решением новой. Пусть – решение старой системы. Сомнение может вызвать только i -е уравнение новой системы. Однако выкладки

 

 

рассеивают это сомнение.

Элементарному преобразованию третьего типа соответствует умножение какой-нибудь строки системы на ненулевое число. Очевидно, новая система будет равносильна старой.

Теперь приведем расширенную матрицу систему к ступенчатому виду Гаусса. Поскольку при этом столбцы не менялись местами, то тем самым оказалась приведенной к ступенчатому виду и матрица (нерасширенная) системы. Система, соответствующая ступенчатому виду расширенной матрицы, равносильна изначальной системе.

Возможны два случая.

1. Существует строка в ступенчатом виде расширенной матрицы, в которой опорный элемент находится в столбце свободных членов. Очевидно, что расширенная матрица имеет ранг, на единицу больший, чем ранг матрицы системы. С другой стороны, соответствующее такой строке уравнение системы решений не имеет.

2. Если указанной строки нет, то ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы. Покажем, что в этом случае система совместна. Пусть ранг равен r, а опорные элементы располагаются в столбцах с номерами , причем . Тогда неизвестные можно объявить главными (базисными), а остальные можно объявить свободными. Кроме того, отбросим уравнения полученной системы, соответствующие нулевым строкам в ступенчатом виде Гаусса расширенной матрицы, что дает системе, равносильную исходной. Перенеся свободные неизвестные в правую часть, придем к системе

 

где через обозначена сумма свободных неизвестных, умноженных на стоящие перед ними коэффициенты i -го уравнения. Поскольку коэффициенты отличны от нуля, то при отсутствии свободных переменных имеем единственное решение, а при наличии свободных переменных, придавая им различные значения, однозначно определяем главные неизвестные и, тем самым, имеем бесконечно много решений. Придавая свободным переменным всевозможные значения, получим общее решение системы.■

Таким образом, система имеет единственное решение, когда ранг ее матрицы равен рангу ее расширенной матрицы и числу неизвестных и меньше или равен числу уравнений, т. е. отсутствуют свободные неизвестные.

При доказательстве теоремы Кронекера – Капелли общее решение совместной системы было получено методом, который называется метод Гаусса.

1. Составить расширенную матрицу (А | ) и привести ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

а. Если существует строка в ступенчатом виде расширенной матрицы, в которой опорный элемент находится в столбце свободных членов, то система несовместна и решение окончено.

б. Если такой строки нет, то система совместна, главными переменными объявляем те, которые соответствуют базисным столбцам, а остальные переменные объявляем свободными.

2. Привести ступенчатую матрицу к ступенчатому виду Гаусса.

3. Написать систему линейных уравнений, соответствующую матрице, построенной на шаге 2, обозначив свободные неизвестные числами .

4. Выразить из полученной системы главные неизвестные через свободные.

5. Записать общее решение в виде .

 

Однородные системы

 

Линейная однородная система алгебраических уравнений всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое решение , называемое тривиальным. Поэтому интересно выяснить, когда имеются нетривиальные решения.

Теорема. Линейная однородная система алгебраических уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство. Приведем данную однородную систему к ступенчатому виду. Очевидно, она при этом останется однородной. Также ясно, что число главных неизвестных равно рангу системы. Следовательно, существуют свободные неизвестные, что в соответствии с методом Гаусса обеспечивает существование ненулевых решений.■

Теорема. Линейная однородная система алгебраических уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю.

Доказательство. Линейная однородная система алгебраических уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных, а значит меньше числа строк. Таким образом, линейно независимых строк меньше общего числа строк, т. е. все строки матрицы будут линейно зависимы. Тогда определитель матрицы равен нулю.■

Теорема. Множество решений линейной однородной системы алгебраических уравнений является линейным векторным пространством.

Доказательство. Поскольку решения можно рассматривать как вектора и нулевой вектор всегда принадлежит множеству решений, достаточно проверить линейность. Пусть и – два решения однородной системы. Покажем, что и – тоже решения этой системы. Для этого подставим их в i -е уравнение системы:

 

0,

 

.■

 

Теорема. Пространство решений линейной однородной системы алгебраических уравнений с n неизвестными и матрицей ранга r имеет размерность k=n–r.

Доказательство. В соответствии с методом Гаусса, в общем решении свободные переменные могут принимать произвольные значения, их количество равно k=n–r, а главные переменные определяются через свободные однозначно.■

Тогда любой упорядоченный набор из k=n–r линейно независимых решений однородной системы образует базис в пространстве решений.

Определение. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы алгебраических уравнений называется базис в пространстве решений этой системы.

Особо выделяют фундаментальную систему решений, состоящую из вектор-столбцов , получаемых из общего решения однородной системы подстановкой вместо вектора свободных неизвестных поочередно следующих векторов

 

.

 

С использованием этой фундаментальной системы решений общее решение однородной системы записывается в виде , где – произвольные константы.

Теорема. Общее решение совместной неоднородной системы равно сумме ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.

Доказательство. Покажем, что сумма любого решения неоднородной системы и любогорешения соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы. Пусть и – решения однородной и неоднородной систем, соответственно. Подставляя в любое (например, в i -е) уравнение неоднородной системы на место неизвестных сумму этих решений, получаем .

Теперь покажем, что разность двух произвольных решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы. Пусть и – два решения неоднородной системы. Подставляя в любое (например, в i -е) уравнение однородной системы на место неизвестных разность этих решений, получаем .

Из доказанного вытекает, что, найдя одно решение неоднородной системы и складывая его с каждым решением соответствующей однородной системы, мы получим все решения неоднородной системы.■