Действительные числа. Переменные и постоянные величины

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Краткий курс лекций

Составитель Ю.В.Обрубов

 

Калуга - 2012

Введение в математический анализ.

 

Действительные числа. Переменные и постоянные величины.

 

Одним из основных понятий математики является число. Положительные числа 1,2,3, …, которые получаются при счете, называются натуральными. Числа … -3,-2,-1,0,1,2,3,… называют целыми. Числа, которые могут быть представлены в виде конечного отношения двух целых чисел () называются рациональными. К ним относятся целые и дробные, положительные и отрицательные числа. Числа, которые представляются бесконечными непериодическими дробями называются иррациональными. Примерами иррациональных чисел служат , . В множестве иррациональных чисел выделяют трансцендентные числа. Это числа, которые являются результатом неалгебраических действий. Наиболее известными из них являются число и неперово число . Числа рациональные и иррациональные называются действительными. Действительные числа изображаются точками на числовой оси. Каждой точке на числовой оси соответствует одно единственное действительное число и, наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. Таким образом, между действительными числами и точками числовой прямой установлено взаимно-однозначное соответствие. Это дает возможность равнозначно употреблять термины “число а” и “точка а”.

В процессе изучения различных физических, экономических, социальных процессов часто приходится иметь дело с величинами, представляющими численные значения параметров исследуемых явлений. При этом одни из них изменяются, а другие сохраняют свои значения.

Переменной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численное значение которой не изменяется в данной задаче или эксперименте называется постоянной. Переменные величины обычно обозначают латинскими буквами а постоянные .

Переменная величина считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной.

Существуют различные виды множеств значений числовой переменной величины.

Интервалом называется множество значений х, заключенных между числами a и b, при этом числа a и b не принадлежат рассматриваемому множеству. Интервал обозначают: (a, b); a < x < b.

Отрезком называется множество значений х, заключенных между числами а и b, при этом числа а и b принадлежат рассматриваемому множеству. Отрезок обозначают [a, b], a≤x≤b.

Множество всех действительных чисел является открытым интервалом. Обозначается: (- ∞,+ ∞), -∞ <х <+∞, R.

Окрестностью точки х₀ называется произвольный интервал (а, b), содержащий точку х₀, все точки этого интервала удовлетворяют неравенству a < x < b.

ε - окрестностью точки а называется интервал с центром в точке а, удовлетворяющий неравенству a –ε < x < a + ε. Обозначают ε(а), здесь – называется радиусом окрестности, -центром окрестности.