Монотонные функции. Экстремум функции

Функция у = f(х) называется возрастающей на промежутке (а, b), если для любых х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство f(х₂) > f(х₁), то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция у = f(х) называется убывающей на промежутке (а, b), если для любых х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство f(х₂) < f(х₁), то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Например: Функция у = х³ возрастает на всей области определения

Функция у = х² возрастает на интервале (0, +∞) и убывает на интервале

(- ∞, 0).

Точка х₀ называется точкой максимума функции у = f (х), если существует такая двусторонняя окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f (х₀) > f(х)

Точка х₀ называется точкой минимума функции у = f(х), если существует такая двусторонняя окрестность точки х₀, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(х₀) < f(х).

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, а значение функции в точке минимума называется минимумом функции. Обозначается соответственно y_max,, у_min.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Понятия функциональной зависимости широко используются в экономических моделях (задачах). Посредством элементарных функций и их графиков моделируются взаимосвязи между многими экономическими характеристиками и показателями. Спектр элементарных функций используемых в экономике довольно широкий:

· Линейные;

· Дробно-линейные;

· Степенные;

· Показательные;

· Логарифмические.

Наибольшее распространение имеют функции спроса (или потребления) отражающие зависимость спроса от комплекса факторов, влияющих на него. Примером такой зависимости служит дробно-линейная функция Торнквиста

.

Эта функция описывает зависимость величины спроса на предметы первой необходимости от величины доходов . Соответствующие этим функциям кривые называются кривыми Энгеля по имени впервые изучившего их немецкого ученого.

Для построения графика этой функции достаточно преобразовать ее к виду:

График функции может быть построен растяжения в раз гиперболы и последующим сдвигом полученной кривой вдоль координатных осей.

Другим примером функции в экономике служат функции спроса и предложения для соотношения спроса и цен. Известно, что для большинства благ действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь возможны различные типы зависимости и, следовательно, различные формы кривых.