Формальне визначення динамічної системи

Формально динамічна система в загальному вигляді може бути задана наступним кортежем:

М = Б < Т, Ф, Х, Ω, V, Y, G, R >.

Властивості динамічної системи задаються наступними аксіомами:

1. Для системи S задано безліч моментів часу Т, макрофункція системи Ф, безліч вхідних впливів Х, безліч обурень Ω, безліч стані V, безліч значень вихідних величин Y, структура системи G, відношення емерджентності R.

2. Безліч Т являє деяке впорядковану підмножину безлічі речових чисел, представляюче собою безліч моментів часу, в яких вивчається система.

3. Макрофункція системи визначається за допомогою двох функцій:

S: X → Y и V: X × Y → C,

де S – функціональна модель об’єкта; V – функція якості, або оціночна функція; C – безліч оцінок. Макрофункція системи визначається парою Ф = (S, V).

4. Безліч обурень Ω або безліч невизначеностей, являє собою безліч усіх можливих впливів, котрі позначаються на поведінці системи.

Якщо така безліч Ω не пуста, т. ч. Ω ≠ 0, то функціональна модель об’єкта приймає вигляд:

S: X × Ω →Y

а оціночна функція

V: X × Ω × Y > C.

5. Існує перехідна функція стану

φ = Ф × Ф × V × X → V,

значеннями якої слугує стан u(t) = φ(t, r, u, x) V, в яких виявляється система в момент часу t Т, якщо в початковий момент τ<t вона знаходилась у стані u(t) V і на протязі відрізку [τ, t ] на ній позначався вхідний вплив х Х.

6. Задано вихідне відображення:

ŋ: Т × V → Y,

визначаюче вихідні величини: y (t) = ŋ (t, u(t)).

Пару (τ, u), де t Т, та u V, називають станом або фазовими координатами системи S, а множину T × V – простором станів системи.

Кінцевий набір станів системи t₁, t₂ Т, заданий перехідною функцією φ і визначений на певному часовому відрізку [ t₁, t₂ ], називається траєкторією поведінки системи на інтервалі [ t₁, t₂ ], при заданих початкових умовах.

Кажучи про рух системи, ми будемо мати на увазі траєкторію поведінки даної системи. Сукупність траєкторії системи, які відповідають її різним (всім можливим) початковим станам, називаються фазовим портретом системи.

7. Структура системи G визначається в термінах теорії графів:

, , ,

де S_i – вершини, (S_i, S_j) – дуги графів.

8. Відношення емерджентності R: Ф → G.

Розглянуте поняття динамічної системи дозволяє виробити загальну термінологію, уточнити концептуалізацію й забезпечити єдиний підхід до опису загальних властивостей.