Опис якісних змін у динамічних безперервних системах

 

B загальному випадку поводження складної системи описується сукупністю інтегро-диференціальних рівнянь різних порядків.

Основним способом опису динаміки безперервних економічних систем є використання апарата диференціальних рівнянь.

Диференціальне рівняння — це рівняння, що містить невідому функцію однієї або декількох змінних; незалежні змінні й похідні невідомої функції по незалежним змінним.

Вирішити диференціальне рівняння означає знайти всі невідомі функції, що обертають рівняння в тотожність. B загальному випадку невідомі функції визначаються диференціальним рівнянням неоднозначно (якщо рішення взагалі існує), тому на шукані функції часто накладають додаткові умови. Існує певна класифікація типів диференціальних рівнянь, що дозволяє визначити способи знаходження аналітичних рішень диференціальних рівнянь.

Розглянемо основні поняття теорії диференціальних рівнянь.

Звичайним диференціальним рівнянням порядку r називається рівняння виду:

,

де r – порядок старшої похідної, вхідної до рівняння. Дане рівняння представлено в неявній формі.

Під диференційним рівнянням у явній формі розуміють диференціальне рівняння, дозволене відносно старшої похідної:

Під рішенням диференціального рівняння розуміють знаходження функції y(x), що задовольняє цьому рівнянню. При цьому сама функція y(x) називається рішенням диференціального рівняння.

Дане співвідношення являє собою, по суті, рішення диференційного рівняння щодо невідомої функції y(t).

Загальне рішення звичайного диференціального рівняння порядку r має вигляд:

де с₁, с_r – довільні постійні.

Завдання Коші (завдання з початковими умовами) — завдання про знаходження приватного рішення, що задовольняє r початковим умовам:

Якщо відомо загальне рішення, то для рішення завдання Коші постійні с₁ знаходять із системи рівнянь:

Крайова задача – це задача находження приватного рішення, яке задовольняє крайові умови для функції та її похідних на кінцях відрізку a£ x£ b, тобто при х = а та х = b.

диференціальне рівняння може мати рішення, які не можна одержати із загального рішення шляхом підстановки конкретних значень для постійних c_і.

Графічне зображення приватного рішення називають інтегральною кривою. Загальне рішення диференціального рівняння r -гo порядку визначає r -параметричне сімейство інтегральних кривих.

Система звичайних диференціальних рівняньдля невідомих функцій y₁(x), …, y_n(x) має вигляд:

Рішенням системи звичайного диференціального рівняння називається будь-яка впорядкована сукупність функції y₁(х),...,у_n{х), що обертає кожне рівняння у тотожність. K системі диференціальних рівнянь першого порядку можуть бути зведені рівняння вищих порядків.

Однієї з базових теорем теорії диференційних рівнянь є теорема існування та одиничності для задачі Коші.

 

Теорема Коші.

Нехай функції ∫_i (х,у₁,...,у_n) системи диференціальних рівнянь першого порядку виду

безперервні й обмежені в замкнутій області та виконується умова Липшица. Тоді система із заданими початковими умовами має єдине рішення в заданій області.

Найбільше часто для моделювання економічних процесів використовуються диференціальні рівняння 1-го порядку, оскільки вхідні в них складові мають досить простий економічний зміст. A саме: похідна першого порядку деякої функції є приріст, тобто величина, часто використовувана в економічному аналізі.

Серед рівнянь першого порядку виділяються:

1.1. Диференціальні рівняння з поділяючими змінними.

1.2. Однорідні диференціальні рівняння.

1.3. Рівняння, що приводять до однорідного.

1.4. Рівняння в повних диференціалах.

1.5. Неоднорідні диференціальні рівняння.

1.6. Приватні типи рівнянь (Бернуллі).

По виду функцій розрізняють також лінійні та нелінійні диференційні рівняння, з постійними та змінними коефіцієнтами та ін.

Важливим у класифікації типів диференціальних рівнянь є поняття автономності. Якщо диференціальне рівняння не містить явну незалежну змінну, якою є час, то воно називається автономним диференціальним рівнянням. B цьому випадку поведінка рішення залежить тільки від стану системи та не залежить від часу. Будь-яке неавтономне рівняння може бути перетворене в автономну систему диференціальних рівнянь за допомогою введення нової невідомої змінної.

На відміну від звичайних диференціальних рівнянь диференціальні рівняння в частинних похідних не знайшли ще свого застосування в моделюванні економічних систем.

Для опису дискретних динамічних систем, тобто таких, поводження яких розглядається в дискретні моменти часу, застосовуються кінцево-різницеві рівняння. Вхідні в їхній склад кінцеві різниці є дискретним аналогом похідних.

Якщо відомий ряд спостережень за деякою величиною y₁, y₁,...,y_t,...,y_τ, то кінцевою різницею 1-го порядку називається

Кінцево-різницеве рівняння включає кінцеві різниці різних порядків і може бути приведене до виду:

Кінцево-різницеві рівнянні часто застосовуються в тих випадках, коли систему можливо спостерігати лише в певні моменти часу. Така ситуація типова для економіки, де практично всі величини виміряються з деякою періодичністю, тобто чітко в певні моменти.