Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами

1 2 3 4 5 6 7

ТП 4: Если у – величина бесконечно большая, то - бесконечно малая.

ТП 5: Если у – величина бесконечно малая, то - бесконечно большая, у ≠ 0.

Например:

1) Вычислить: Lim

х → 1+

Решение:

Т.к. числитель и знаменатель дроби являются бесконечно большими величинами при х→ , то пределов числителя и знаменателя не существует,

поэтому разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:

, тогда

= (1 + ) = + = 1 + 5 x Lim = 1 + 5 x 0 =1,

x→ +

т.к дробь при х → +∞ является бесконечно малой величиной и следовательно ее предел равен нулю.

Ответ: Lim = 1.

х → 1+

2) Найти: Lim

х →

Решение:

Числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком предела при х→ являются бесконечно большими величинами, поэтому для того, чтобы можно было применить теоремы о пределах, предварительно разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х:

Lim = Lim = Lim = .

х → х → х →

Т.к. под знаком предела стоит дробь, то нужно выяснить, отличен ли от нуля предел знаменателя:

Lim = Lim - Lim 7 = 2 x Lim - 7 = 2 x 0 – 7 = -7,

x→∞ x→∞ x→∞ x→∞

т.к. при безграничном возрастании х является величиной бесконечно малой и следовательно Lim = 0. Предел знаменателя отличен от нуля, следовательно:

x→∞

= = = = = -

Ответ: Lim = -

х →

Задание 1.

1.01 Lim ;

x→+∞

1.02 Lim ;

x→+∞

1.03 Lim ;

x→ -2

1.04 Lim ;

x→ 4

1.05 Lim ;

x→ 2

1.06 Lim ;

x→ -2

1.07 Lim (х² – 4х + 5);

x→ 5

1.08 Lim ;

x→∞

1.09 Lim ;

x→ 2

1.10 Lim .

x→

Производная.

I. Определение функции и основные понятия.

Определение 1: Пусть Х и У – некоторые числовые множества. Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что х є Х, у є У. Каждый х входит в одну и только одну пару этого множества, а каждый у входит по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у и пишут у = f (x).

Число у называется значением функции f в точке х.

Переменную у называют зависимой переменной, а переменную х – независимой переменной (или аргументом);

Множество Х называют областью определения (или существования) функции, а множество У – множеством значений функции.

Способы задания функции:

при помощи формулы (аналитически);
таблицей;
графиком;
договоренностью.

Разность двух значений аргумента называется приращением аргумента:

Δ х = х₂– х₁

Разность значений функции, соответствующих значениям х₂ и х₁ аргумента, называют приращением функции:

Δ f = f( х₂ ) – f( х₁ )

Определение 3: Производной функции у = f (x) по независимой переменной х в точке х₀ называется предел при Δ х → 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует):

f '( х₀ ) = Lim = Lim

Δ х→0 Δ х→0

Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Определение 2: Функция называется непрерывной в точке х₀, если предел функциии ее значение в этой точке равны: Lim f(x) = f(x₀).

х →х₀

Геометрический смысл производной:

Производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке (х₀; f(х₀)).

Физический смысл производной:

Мгновенная скорость движения есть производная от пройденного пути S по времени t.

Уравнение касательной:

у_к = f '( х₀ )(х – х₀) + f( х₀ )

Таблица правил и основных формул дифференцирования.

Если u и v – некоторые функции от х, имеющие производные при рассматриваемых значениях х, а с – постоянная, то:

I. (u ± v)' = u' ± v'

II. (u · v)' = u' · v + v' · u

III. (c · u)' = c · u'

IV. =

V. = , v ≠ 0

VI. (c)^' = 0

VII. (x)^' = 1

Д – постоянная величина

VIII. (xⁿ)^' = n · x^{n -1}

IX. (sin x) ' = cos x

X. (cos x) ' = - sin x

XI. (tg x) ' =

XII. (ctg x) ' = -

XIII. (Log_a x) ' = Log_a e =

XIV. (Log_e x) ' = (Ln x) ' =

XV. (a^x) ' = a^x · Ln a

XVI. (e^x) ' = e^x

XVII. (arcsin x) ' =

XVIII. (arccos x) ' = -

XIX. (arctg x) ' =

XX. (arcctg x) ' = -

Например:

1. (3¹⁰⁰)^' = 0 (VI)

2. (12х)^' = 12 (III, VII)

3. (x¹²¹)^' = 121 · x¹²⁰(VIII)

4. (2x¹⁵)^' = 2 · 15 · x^{15 -1} = 30 х¹⁴(III, VIII)

5. (22^x) ' = 22^x · Ln 22 (XV)

6. (14 sin x) ' = 14 cos x (III, IX)

7. (25 cos x) ' = - 25 sin x (III, X)

8. (7 tg x) ' = 7 · = (III, XI)

9. (5 ctg x) ' = 5 · ( - ) = - (III, XII)

10. (х¹⁰ – arcsin x)' = (x¹⁰)' - (arcsin x)' = 10 x³ - (I, VIII, XVIII)

11. (x · sin x)' = (x)' · sin x + x · (sin x)' = 1 · sin x + x · cos x = sin x + x · cos x

12. = = =

(V, XIV, IX)

13. (4x⁵ – 7 cos x + tg x – ctg x)' = (4x⁵)' - (7 cos x)' + (tg x)' – (ctg x)' = 4(x⁵)' –

7(cos x)' + - ( - ) = 4 · 5 · x^5-1 – 7 · (- sin x) + + = 20x⁴ + 7 sin x + + (I, III, VIII, X, XI, XII)