Лекция 1. Дифференциал. Определение и геометрический смысл

1.1. Дифференциал

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀ Î(a, b), т.е. существует .

Тогда по теореме о представлении функции в виде суммы ее предела и б.м.ф. (см. раздел 3, тема 3.2.) «Предел функции в точке»: если , то f(x) = A + α(x)) имеем:

Здесь слагаемые α(x) и Δx есть бесконечно малые более высокого порядка, чем величина . Тогда величина составляет главную часть приращения функции в точке x₀. Это и есть дифференциал.

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ называется линейная относительно Δx величина , составляющая главную часть приращения функции в точке x₀.

Обозначение:

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то или

Для функции .

Тогда запись: d f(x) = f ^/ (x) dx или d y = y ^/ dx

Т.е. дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.

При этом, если f ^/ (x₀) = 0, то d f(x₀) = 0. Здесь f ^/ (x₀) Δx не главная часть приращения функции, т.к. .

Примеры. Найти дифференциалы следующих функций:

1)

2)

1.2. Дифференциал сложной функции

Если y = f(u), u = g(x):

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство называется инвариантность дифференциала.

Пример:

1.3. Основные свойства дифференциала: u и v -дифференцируемые функции