2018-01-08
1173
3.1. Схема исследования функции
Дана функция y = f(x). Задача: построить график.
1) Найти область определения функции D(y);
2) Исследовать функцию на четность;
3) Определить, является ли функция периодичной;
4) Исследовать функцию при помощи первой производной, т.е. найти:
· Промежутки возрастания и убывания функции;
· Точки экстремумов и экстремумы;
· При необходимости – наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке;
5) Исследовать функцию при помощи второй производной, т.е. найти:
· Точки перегиба и значения функции в этих точках;
· Определить вид выпуклости графика;
6) Найти точки пересечения графика с осями координат:
· С осью Ox – нули функции;
· С осью Oy, y(0);
7) Сосчитать дополнительные точки (в том случае, если невозможно найти нули функции);
8) Найти асимптоты графика;
Если функция достаточно сложная, рекомендуется составить сводную таблицу.
3.2. Практическая работа № 6 «Исследование функции при помощи производной»
Задание. Исследовать по общей схеме функции и построить их графики:
|
|
|
1) 
; функция непрерывна на области определения;
- функция четная (график симметричен относительно Oy);
3) Функция не является периодичной;
Выводы: ― + ― + y/
———○————○————○———> x
↓ -√3 ↑ 0 ↓ √3 ↑ y
Промежутки убывания и возрастания функции очевидны с рисунка.
Выводы: x=±1 – точки перегиба; 
6) а) Нули функции:
б) точка пересечения с Oy: x=0; y(0)=3
7) Дополнительные точки можно не считать.
2. 
; Дополнительно: к графику функции построить касательную в точке x = -1.
- здесь: функция непрерывна на области определения, а в точках 
не существует; область определения симметрична, поэтому пункт 2;
- функция нечетная;
3) Непериодична;
- решений нет, значит, функция ведет себя монотонно на каждом промежутке существования: 
Ищем критические точки 2 рода: 
+ не сущ. ― + не сущ. ― y //
———○————○————○————> x
U -2√3/3 ∩ 0 U 2√3/3 ∩ y x = 0 точка перегиба y(0) = 0;
6) а) Нули функции: 
;
б) Точка пересечения графика с Oy: x = 0, y(0) = 0
7) Дополнительные точки – не нужны;
8) Асимптоты:
· 
- вертикальные асимптоты;
· Наклонная асимптота: 
. Чтобы найти наклонную асимптоту, нужно вычислить коэффициенты k и b линейной функции
Задание 2. Касательная: 
Составим сводную таблицу:
| x | (-¥,-2√3/3) | -2√3/3 | (-2√3/3,0) | (0,2√3/3) | 2√3/3 | (2√3/3, ¥) | |
| y | ↑ | → ±¥ | ↑ | ↑ | → ±¥ | ↑ | |
| y / | + | Нет | + | + | Нет | + | |
| y // | + | Нет | ― | + | Нет | ― | |
| выпуклость | U | Вертик. асимптота | ∩ | Точка перегиба | U | Вертик. асимптота | ∩ |
