Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

1.1. Первообразная

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если они обе существуют на одном и том же множестве, и производная функции F(x) равна функции f(x).

F ^/ (x) = f (x)

Например, функция:

· y = sin x - первообразная для y = cos x

· y = - cos x - первообразная для y = sin x

· y = 2x + 1 - первообразная для y = 2

· y = ln x - первообразная для y = 1/x (на множестве x > 0) и т.д.

 

Операция нахождения первообразной называется интегрирование. Это операция, обратная дифференцированию.

 

Вспоминаем таблицу первообразных элементарных функций

 

Функция f(x)	Первообразная F(x)
1) Постоянная: C
2) Степенная:
Частные случаи:
Для степенной
3) Показательная:
Частный случай:
4) Тригонометрические:
5) Правила интегрирования:
5.1)
5.2)
5.3) Для сложной функции

 

 

1.2. Неопределенный интеграл

Для любой функции существует бесконечно много первообразных, которые имеют общую часть, а различаются лишь постоянными (числами).

Например, для функции

являются первообразными, т.к. . И подобных первообразных можно составить сколько угодно.

Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Здесь:

f(x) -- подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента.

Тогда, общая формула: , где C – произвольная постоянная.

Таким образом, для вычисления неопределенного интеграла, нужно найти все первообразные

заданной функции.

Например: и т.д.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных интегральных кривых F(x), F(x)+C₁, F(x)+C₂ и т.д.

Отмечаем: если функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует первообразная функции F(x), а, следовательно, и неопределенный интеграл ∫f(x)dx.

 

Примеры. Найти:

1.3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме их интегралов:

Справедливо для любого количества слагаемых. Необходимо помнить, существуют ли все функции на одном и том же множестве.

Таблица основных интегралов

1.	13.
2.	14.
3.	15.
4.	16.
5.	17.
6.	18.
7.	19.
8.	20.
9.	21.
10.
11.	22. Для сложной функции:
12.