Лекция 3. Логика предикатов. Логические операции над предикатами

«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математи­ческих рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

3.2. Логика предикатов

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект ( буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, а предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Логи­ка предикатов – это расширение логики высказываний за счет использова­ния предикатов в роли логических функций.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например, х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Определение 1. Одноместным предикатом Р (х) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент x пробегает значения из некоторого мно­жества M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.

Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.

Множество , на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р (х).

Например, предикат P(x) - «x- простое число» определен на множестве натуральных чисел, а множество I_P – это множество всех простых чисел.

Определение 2. Предикат Р (х), определённый на множестве M, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если

Определение 3. Двухместным предикатом P (x, у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М = М ₁× М ₂ и принимающая значения из множества {1,0}.

В качестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q (x, у) – «х = у» предикат равенства, определённый на множестве R ²= R × R; F (x, у) – «х || у» прямая х параллельна прямой у, определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Говорят, что предикат Р (х) является следствием предиката Q (х) , если ; и предикаты Р (х) и Q (х ) равносильны , если .

Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности:

1. х + 5 = 1
2. при х = 2 выполняется равенство х ² – 1 = 0
3. х ² – 2 х + 1 = 0
4. существует такое число х, что х ³ – 2 х + 1 = 0
5. х + 2 < З х – 4
6. однозначное неотрицательное число х кратно 3
7. (х + 2) – (3 х – 4)

Решение. 1) Предложение является одноместным предикатом Р (х), I_P = {– 4};
2) предложение не является предикатом. Это ложное высказывание;
3) предложение является одноместным предикатом Р (х), I_P = {1};
4) предложение не является предикатом. Это истинное высказывание;
5) предложение является одноместным предикатом Р (х), I_P = (3; +∞);
6) предложение является одноместным предикатом Р (х), I_P = {0; 3; 6; 9};
7) предложение не является предикатом;

Пример 2. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката .

Решение. Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенную между ветвями параболы , она изображена серой частью рисунка:

3.3. Логические операции над предикатами