Теорема об изменении кинетической энергии

Задание: Для заданной механической системы, движение которой начинается из состояния покоя, определить, какую скорость приобретает тело 1 при перемещении на расстояние S.

Исходные данные приведены в таблице №2 и на схемах рис.2.

 

Таблица №2

Первая цифра шифра	m 1 кг	R м	d м	Вторая цифра шифра	αо	m 2 кг	f	Третья цифра шифра № схемы	m 3 кг	m 4 кг	S 1 м	ρ м
	2 m	0,2	0,001			m	0,1		5 m	7 m		0,11
	3 m	0,5	0,002			5 m	0,2		4 m	3 m		0,13
	4 m	0,8	0,003			2 m	0,3		3 m	5 m		0,14
	5 m	0,3	0,004			8 m	0,4		2 m	4 m		0,15
	m	0,2	0.005			3 m	0,1		3 m	m		0,16
	8 m	0,6	0,001			4 m	0,3		7 m	2 m		0,12
	4 m	0,4	0,002			6 m	0,2		6 m	4 m		0,13
	5 m	0,7	0,003			3 m	0,4		2 m	5 m		0,14
	6 m	0,3	0,004			4 m	0,1		m	6 m		0,15
	2 m	0,5	0,005			2 m	0,3		2 m	3 m		0,16

 

Последовательность расчёта:

1. Вычертить схему заданной механической системы.

2. Применить теорему об изменении кинетической энергии системы: Т – Т_о = + .

Т_о – кинетическая энергия системы в начальном положении. Так как в начальный момент времени система находится в покое Т_о = 0;

Т - кинетическая энергия системы в конечном положении;

- сумма работ внешних сил, приложенных к системе не перемещениях системы из начального положения в конечное положение;

-сумма работ внутренних сил на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями, =0.

Следовательно, уравнение примет вид: Т = .

3. Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил изобразить систему в конечном положении.

4. Написать кинематическое соотношение между скоростями и перемещениями точек системы, то есть выразить скорости и перемещения тел через скорость и перемещение тела 1.

5. Вычислить кинетическую энергию системы в конечном положении, как сумму кинетических энергий всех тел: Т = Σ Т_i.

6. Вычертить схему системы с приложенными к ней внешними силами.

7. Найти сумму работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном её перемещении.

8. Используя теорему об изменении кинетической энергии, вычислить скорость, которую приобретает тело 1.

Пример расчёта

Определить скорость, которую приобретает тело 1, начинающее движение из состояния покоя и проделавшее путь S = 2м. Массы всех тел приять равными.

f – коэффициент трения скольжения,

d ₂ и d ₄ - коэффициенты трения качения,

m – масса тел,

ρ₃ – радиус инерции блока 3.

 

• Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Т - Т_о = + ; Т_о = 0; = 0;

Следовательно, Т = .

• Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил изображаем систему в конечном положении.

• Устанавливаем кинематическое соотношение между скоростями и перемещениями точек системы, выражая скорости и перемещения тел через скорость и перемещение тела 1.

примем: R ₃ = 0,4 м = R; тогда r ₃ = 0,2 м = 0,5 ∙ R; R ₄ = 0,2 м = R; R ₂ = 0,3 м = 0,75∙ R;

• примем: V ₁ = V; так как нити нерастяжимы, то V ₂ = V ₁ = V, V_А = V ₂= V; V_В = 0,5 ∙ V_А = 0.5 V; V ₄ = V_В = 0,5∙ V

 

V ₂ = ω₂ ∙ R ₂; V ₂ = V; R ₂= 0.75 ∙ R; ω₂ = = 1,333 ∙ ;

V ₃ = ω₃ ∙ R ₃; V ₃ = V; R ₃ = R; ω₃ = ;

V ₄ = ω₄ ∙ R ₄; V ₄ = 0,5 ∙ V; R ₄ = 0,5 ∙ R; ω₄ = ;

• примем S ₁ = S; так как нити нерастяжимы, то S ₂ = S ₁ = S_A = S ₃ = S;

S ₂ = φ₂ ∙ R ₂; R ₂ = 0,75 ∙ R; S ₂ = S; φ₂ = = 1,333 ∙ ;

S ₃ = φ₃ ∙ R ₃; R ₃ = R; S ₃ = S; φ₃ = ;

S _B = φ₃ ∙ r ₃; r₃ = 0,5 ∙ R ₃ = 0,5 ∙ R; S _B = ∙ 0.5 ∙ R = 0,5 ∙ S;

так как нити нерастяжимы, то S ₄ = S _B = 0.5 ∙ S.

S ₄ = φ₄ ∙ R ₄; R ₄ = 0,5 ∙ R; φ₄ = ;

• Вычисляем кинетическую энергию системы в конечном положении, как сумму кинетических энергий всех тел: Т = Σ Т_i.

Т ₁ = ∙ m ₁ ∙ V ₁² = ∙ m ∙ V ² = 0,5 ∙ m ∙ V ² ;

Т ₂ = ∙ m ₂ ∙ V ₂² + ∙ I ₂ ∙ ω₂² = ∙ m ∙ V ² + ∙ 0,28 ∙ m ∙ R ² ∙ (1,33 ∙ )² = 0,75 ∙ m ∙ V ²;

I ₂ = ∙ m ₂ ∙ R ₂² = ∙ m ∙ (0,75 ∙ R)² = 0,28 ∙ m ∙ R ²;

Т ₃ = ∙ I ₃ ∙ ω₃² = ∙ 0,5625 ∙ m ∙ R ² ∙ ()² = 0,28 ∙ m ∙ V ²;

I ₃ = m ₃ ∙ ρ₃² = m ∙ (0,75 ∙ R)² = 0.5625 ∙ m ∙ R ²;

(ρ₃ = 0,3 м = 0,75 ∙ R);

Т ₄ = ∙ m ₄ ∙ V ₄² + ∙ I ₄ ∙ ω₄² = ∙ m ∙ (0,5 ∙ V)² + ∙ 0,125 ∙ m ∙ R ² ∙ ()² = 0,1875 ∙ m ∙ V ²;

I ₄ = ∙ m ₄ ∙ R ₄² = ∙ m ∙ (0,5 ∙ R)² = 0.125 ∙ m ∙ R ²;

T = T ₁ + T ₂ + T ₃ + T ₄ = 0,5 ∙ m ∙ V ² + 0,75 ∙ m ∙ V ² + 0,28 ∙ m ∙ V ² + 0,1875 ∙ m ∙ V ²

T = 1,72 ∙ m ∙ V ²

• Чертим схему системы с приложенными к ней внешними силами.

Так как по условию m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = m, то G ₁ = G ₂ = G ₃ = G ₄ = G;

• Определяем сумму работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном её перемещении.

Работа сил сцепления F_{cц 2} и F_{cц 4} равна нулю, так как эти силы приложены в неподвижных точках (мгновенных центрах скоростей тел 2 и 4).

ΣА = А _1тс + А _2тк + А _4тк + А _{4 G}.

 

Работа силы трения скольжения тела 1: (R = 0,4 м, S = 2 м)

А _1тс = – F_1тс ∙ f ∙ S = – G ∙ f ∙ S = – 0.2 ∙ 2 ∙ G = – 0,4 ∙ G;

Работа пары сил сопротивления качению катка 2:

А _2тк = – М _2тк ∙ φ₂ = – N ₂ ∙ d ₂ ∙ φ₂ = – G ∙ 0,001 ∙ 1,333 ∙ =

– 0,0013 ∙ G ∙ ∙ ;

А _2тк = – 0,0067 ∙ G;

Работа пары сил сопротивления качению катка 4:

А _4тк = – М _4тк ∙ φ₄ = – N ₄ ∙ d ₄ ∙ φ₄= – G ∙ cos45^o ∙ 0,002 ∙ =

– G ∙ 0,707 ∙ 0,002 ∙ ;

А _4тк = – 0.0071 ∙ G;

Работа силы тяжести катка 4:

А _{4 G} = – G ∙ cos45^o ∙ S ₄ = – G ∙ 0,707 ∙ 0.5∙ S = – 0,707 ∙ 0,5 ∙ 2 ∙ G =

– 0,707 ∙ G;

А = – 0,4 ∙ G – 0,0067 ∙ G – 0,0071 ∙ G – 0,707 ∙ G = 1,121 ∙ G =

1,121 ∙ m ∙ g = 11 ∙ m;

• Используя теорему об изменении кинетической энергии, определяем скорость, которую приобретает тело 1: 1,72 ∙ m ∙ V ² = – 11 ∙ m;

V = 2,53