Топологічні рівняння у скалярній формі

Для отримання топологічних рівнянь у скалярній формі достатньо здійснити матричні операції множення. Ця операція здійснюється за правилом "стрічка на стовпець", згідно з яким треба обрати в лівій матриці стрічку, а в правій - стовпець, а далі кожний елемент стрічки помножити на відповідний елемент стовпця, а отримані добутки слід скласти. Одержаний результат дорівнює елементу матриці-результату, номер стрічки якого дорівнює номеру стрічки лівої матриці, а номер стовпця - номеру стовпця правої матриці.

Кількість рівнянь, отриманих від першого матричного рівняння, визначається кількістю зв’язків в орієнтованому графі системи, а кількість рівнянь від другого матричного рівняння ‑ кількістю віток у дереві орієнтованого графа системи. Таким чином, загальна кількість топологічних рівнянь дорівнює кількості ребер орграфа електричної системи. Однак ці рівняння не дають можливості отримати однозначні результати розв’язання, оскільки кількість невідомих змінних, що міститься навіть в цій системі, перевищує кількість рівнянь. Дійсно, для кожного резистора, конденсатора і котушки індуктивності маємо дві невідомі змінні, а для кожного джерела електричної енергії існує лише одна невідома змінна. Загальна кількість невідомих змінніх дорівнює подвійні кількості пасивних елементів (резисторів, конденсаторів, котушок індуктивностей), збільшена на кількість джерел енергії. Таким чином, для знаходження всіх невідомих змінних не вистачає рівнянь, кількість яких дорівнює кількості пасивних елементів. Ці рівняння можуть бути записані як так звані компонентні рівняння.

КОМПОНЕНТНІ РІВНЯННЯ ЕЛЕКТРИЧНОЇ СИСТЕМИ

Кожне компонентне рівняння описує поведінку пасивного елемента, взятого окремо від системи. Таким чином, для отримання такого опису слід провести декомпозицію системи, тобто відокремити елементи від системи і дослідити кожен елемент на предмет встановлення математичного зв’язку між струмом і напругою кожного пасивного елемента. Для джерел енергії такий зв’язок відсутній і для них компонентні рівняння також відсутні.

Компонентні рівняння для кожної групи елементів однакові за формою запису, змінюються лише індекси, якими ці елементи відзначаються одне від другого. Для резисторів компонентне рівняння записується у формі відомого закону Ома в алгебраїчній формі. Параметром, який бере участь в компонентному рівнянні резистора, слугує опір резистора або його провідність. Для конденсаторів і котушек індуктивностей рівняння за законом Ома треба записати в диференціальній формі. Струм кондесатора визначається добутком параметра (ємності конденсатора) на похідну напруги конденсатора за часом. Повністю аналогічно напруга на кожній котушці індуктивності повинна бути визначена добутком параметра (індуктивності котушки) на похідну струму індуктивності за часом.