Складання топологічної матриці

Для формування рівнянь слід скласти топологічну матрицю F, яка називається матрицею "контур-вітка". Ця матриця відображає структуру так званих особливих контурів. Особливий контур утворюється, якщо до дерева додати тільки один зв’язок. При цьому в отриманому контурі напрямок цього зв’зку вказує позитивний напрямок для цього особливого контура. Якщо при обході контура за цим позитивним напрямком вітка співпадає, то вона дає в стрічку матриці позитивну одиницю. Якщо напрямок вітки протилежний позитивному напрямку в контурі, то в стрічці повинна бути записана від’ємна одиниця. Якщо вітка не входить до особливого контура, то в матриці цьому елементу відповідає нульовий елемент, при цьому нулі можна не вписувати в матрицю, залишаючи ці клітки матриці пустими. Стрічки топологічної матриці відповідають зв’язкам, а стовпці відображають вітки графа електричної системи. Тому кількість стрічок у топологічній матриці повинна дорівнювати кількості зв’язків, а кількість стовпців - кількості віток. Рекомендується розташовувати стовпці й стрічки топологічної матриці відповідно до порядку E-C-R-L-J, що приймається при виборі дерева, і відповідні назви ребер елементів надписувати над кожним стовпцем і зліва біля кожної стрічки.

ТОПОЛОГІЧНІ РІВНЯННЯ У МАТРИЧНІЙ ФОРМІ

Топологічні рівняння електричної системи складають у матричній формі за рівняннями Кірхгофа. Для цього слід скласти чотири вектори (матриці-стовпци) для струмів і напруг віток та зв’зків:

V^в -вектор напруг на вітках графа;

V^с -вектор напруг на зв’язках;

I^в -вектор струмів на вітках графа;

I^с -вектор струмів на зв’язках.

Тепер система топологічних рівнянь в матричній формі може бути подана у вигляді таких рівнянь:

V^с = - FV^в;

I^в = F^тI^с .

Перше рівняння відображає контурні рівняння для напруг, що складаються для системи особливих контурів. Друге рівняння відображає рівняння для струмів для системи особливих розрізів. Під розрізом розуміють сукупність ребер, при розриві яких граф розпадається на дві окремі частини, однією з яких може бути навіть окремий вузол - в цьому разі такий розріз називається канонічним. Рівняння для струмів канонічного розрізу співпадають із загальновідомим формулюванням першого закону Кірхгофа, а більш загальною формою цих рівнянь є рівняння для струмів будь-якого розрізу, навіть неканонічного (в теоретичній електротехниці можна зустріти поняття узагальненого вузла, який, по суті, уособлює поняття розрізу).

Матриця F^т в другому рівнянні являє собою транспоновану топологічну матрицю. Щоб отримати транспоновану топологічну матрицю, необхідно стрічки топологічної матриці записати у вигляді стовпців.