Отримання рівнянь за методом змінних стану

 

Змінними стану в системах служать ті змінні, що визначають енергетичний стан системи. До змінних стану в лінійних електричних системах можна віднести напруги на конденсаторах і струми котушок індуктивностей. Ці змінні утворюють вектор змінних стану Х. Крім того, утворимо вектор заданих величин джерел Q, до якого включимо задані величини джерел електричної енергії. Завданням отримання рівнянь за методом змінних стану є таке перетворення повної системи отриманих рівнянь, коли похідні від змінних стану за часом виражені через самі змінні стану і задані величини джерел:

Щоб отримати цю систему, достатньо здійснити такі дії:

1. Вибрати рівняння, що визначають струми кондесаторів і напруги котушок індуктивностей з числа компонентних і топологічних.

2. У вибраних рівняннях, де однакові ліві частини, прирівняти праві частини.

3. Виразити похідні від змінних стану, розділивши обидві частини кожного отриманого рівняння на параметр елемента - ємність конденсатора або індуктивність котушки.

4. Якщо в правих частинах отриманих таким чином рівнянь присутні напруги або струми резисторів, то такі резистивні величини слід виключити. Виключення здійснюється шляхом визначення кожної резистивної величини через змінні стану і задані величини джерел. Для цього використовують ті рівняння, які не були застосовані в п.1. У цих рівняннях резистивні величини слід враховувати як невідомі і перенести в ліву частину, а змінні стану й задані величини джерел вважати відомими і розмістити в правих чистинах. Отриману таким чином систему треба розв’язати відносно резистивних величин і підставити ці вирази в рівняння, записані в п.3.

Отриману систему рівнянь за методом змінних стану слід подати в матричній формі:

де А ‑квадратна матриця коефіцієнтів, що відображає вплив на похідні змінних стану самих змінних стану, ця матриця називається системною;

В ‑ прямокутна матриця коефіцієнтів, що відображає вплив на похідні змінних стану заданих величин джерел електричної енергії, ця матриця називається матрицею збудження.

Кількість стрічок в обох матрицях дорівнює кількості змінних стану, а кількість стовпців у матриці В ‑ кількості джерел електричної енергії.

Заповнення елементів цих матриць здійснюється таким чином, щоб при виконанні матричного множення була отримана система рівнянь у скалярній формі.