Криволинейное движение. Векторы скорости и ускорения

Понятие скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Положение движущейся точки на траектории задается радиус-вектором r, проведенным в эту точку из какой-либо неподвижной точки О, условно принимаемой за начало координат. Пусть в момент времени t материальная точка находится в положении М с радиус-вектором r=r(t). Спустя короткое время Δt она переместится в положение М₁ с радиус-вектором r₁=(t+Δt). Радиус-вектор материальной точки получил приращение, определяемое геометрической разностью Δr=r₁ - r, где Δr -вектор перемещения

– средняя скорость движения за время Δt, ее направление совпадает с Δr

Предел средней скорости при Δt -> 0, т.е производная радиус-вектора r по времени называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки. Истинная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки.

Аналогично определяется ускорение при криволинейном движении. Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости v или второй производной радиус-вектора r по времени:

Можно провести формальную аналогию между скоростью и ускорением. Из произвольной неподвижной точки О₁ будем откладывать вектор скорости v движущейся точки во всевозможные моменты времени. Конец вектора v назовем скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая годографом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствующая ей скоростная точка движется по годографу. Математические операции над вектором r при нахождении скорости и над вектором v при нахождении ускорения совершенно тождественны, поэтому ускорение а будет направлено по касательной к годографу скорости. Можно сказать, что ускорение есть скорость движения скоростной точки по годографу. Следовательно все теоремы, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в них произвести замену величин и терминов согласно следующей таблице:

Материальная точка → Скоростная точка

Радиус-вектор → Вектор скорости

Траектория → Годограф

Скорость → Ускорение