2014-02-09
3007
Движение по криволинейной траектории всегда происходит с переменной скоростью. Пусть 
— скорость частицы в момент времени t, а 
— скорость частицы D t секунд спустя.
Отношение вектора изменения скорости 
к промежутку времени, за который это изменение произошло, определяет вектор среднего ускорения движения
(2.11)
.
Вектор среднего ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 2.11)
Рис. 2.11
Предел среднего ускорения при D t ® 0 называется вектором мгновенного ускорения частицы в момент времени t.
. (2.12)
Скорость можно представить векторной суммой её составляющих (см. (2.10))
.
Тогда вектор ускорения можно записать так:
. (2.13)
Здесь 
, 
, 
.
Модуль вектора ускорения
.
Часто проецируют вектор ускорения не на оси неподвижной системы координат, а на направления касательное (t) и нормальное 
к траектории (рис. 2.12):
. (2.14)
Здесь а t и аn — проекции вектора ускорения, 
и 
— единичные векторы тангенциального (касательного) и нормального направлений.
Рис. 2.12
Смысл такого представления ускорения (2.14) в том, что тангенциальное ускорение а t определяет изменение вектора скорости только по величине, а нормальная составляющая аn связана с изменением вектора скорости только по направлению. Покажем, что это именно так.
Пусть за время dt скорость частицы изменилась на 
от до 
.
(2.15)
Представим сначала, что нормальное ускорение отсутствует 
. Тогда изменение скорости связано только с тангенциальным ускорением:
.
Полученный результат означает, что изменение скорости совпадает по направлению с самой скоростью 
!
Таким образом, скорость, сохраняя свое направление, будет меняться только по величине
или
(2.16)
Касательная составляющая ускорения равна производной модуля скорости по времени.
Теперь пусть отсутствует касательное ускорение 
. В этом случае:
Новое значение скорости равно:
Возведем эту скорость в квадрат
В правой части этого уравнения вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с V 2(t), а в третьем слагаемом скалярное произведение взаимно-перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, за время dt скорость частицы не изменилась по величине
!
Это означает, что нормальная составляющая ускорения 
определяет изменение вектора скорости только по направлению. Известно, что численно нормальное (центростремительное) ускорение равно отношению квадрата линейной скорости к радиусу кривизны траектории R:
. (2.17)
Чтобы пояснить этот параметр R, рассмотрим небольшой фрагмент плоской криволинейной траектории. В близких точках М и М’ проведём касательные к траектории t и t’, а к ним восстановим перпендикуляры N и N’ (рис. 2.13). Они пересекаются в точке C’.
Рис. 2.13
Начнем приближать точку М’ к М. При этом угол между нормалями q и дуга 
устремляются в пределе к нулю. По определению радиусом кривизны плоской линии называется следующий предел
(2.18)
В процессе этой операции точка C’ сместится в новое положение — точку С — центр кривизны.
Теперь обратимся к рассмотрению важного частного случая криволинейного движения.
