Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством)

Опр. Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и некоторой её окрестности. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если для "e>0 существует положительное число d, такое что для всех х из d-окрестности точки х ₀(т.е. если | х - х ₀|<d) выполняется неравенство | f (x) - f (х ₀) |<e.

17. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и y=sin(x).

Для того, чтобы функция f (x) была непрерывной во внутренней точке х ₀ области определения, необходимо и достаточно выполнение четырёх условий:

1) f (x) определена в точке х ₀(т.е. $ f (х ₀)) и некоторой её окрестности;

2) $ ; 3) $ ;

4) Все эти три числа равны между собой:

Опр. Если хотя бы одно из перечисленных условий непрерывности функции в точке не выполняется, f (x) называется разрывной в точке х ₀, а сама точка х ₀ называется точкой разрыва функции f (x).

Рассмотрим возможные варианты:

Опр. Точка разрыва х ₀ называется точкой устранимого разрыва, если существуют одно-сторонние пределы и они равны между собой (т.е. $ ).

Опр. Точка разрыва х ₀ называется точкой разрыва первого рода (иногда применяется термин "скачок"), если существуют односторонние пределы , но они не равны между собой.