2018-01-08
1514
Основные правила: П роизводная функции. П роизводная суммы функций. П роизводная произведения функций. П роизводная частного функций. П роизводная сложной функции.
Производная суммы. Пусть функции u (x) и v (x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеют производные функции y = (u (x)± v (x)), и (u (x)± v (x)) ' = u' (x)± v' (x).
Док-во: D y = D(u (x) ± v (x))= (u (x +D x) ± v (x +D x))- (u (x) ± v (x))=[ u (x +D x)- u (x)] ±[ v (x +D x)- v (x)]=D u ±D v (x) Þ$ 
.
Производная произведения. Пусть функции u (x) и v (x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y = (u (x) v (x)), и (u (x) v (x)) ' = u' (x) v (x))+ u (x) v' (x)).
Док-во. Найдём D у. Так как u (х +D x) = u (х)+D u, v (х +D x) = v (х)+D v, то
D у = u (х +D x) v (х +D x)- u (х) v (х)=[ u (х)+D u ][ v (х)+D v ]- u (x) v (x)= u (x)D v + v (x)D u +D u D v. 
. Перейдём к пределу при D х ®0. Так как при этом D u ®0, то
.
Производная частного. Пусть функции u (x) и v (x) имеют производные в точке х, причём v (x)¹0. Тогда в этой точке имеет производную функция 
, и 
. Док-во. Найдём D у: 
. Перейдём к пределу при D х ®0. Так как при этом D v ®0, то 
.
