Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций и последовательностей)

14. Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей).

Первый замечательный предел. Так принято называть . Докажем, что он равен единице. 1. Докажем, что sin | x |£.| x | (достаточно доказать это при х >0). Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке О. В качестве переменной х будем брать центральный угол, отсчитываемый в радианах от радиуса ОА. Тогда длина дуги АВ = х, длина отрезка ВD =sin х, sin х < х (при х ¹0; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой). 2. Сравним площади треугольников OBА, OCA и сектора OBA: S(тр. OBА)<S(сек. OBA)<S(тр. OCA). Выразим эти площади: (CA =tg x). Делим это выражение на : . Мы получили эти неравенства в предположении х >0, но вследствие четности входящих в них выражений они верны при любом знаке х. 3. Переворачиваем эти неравенства: . cos x ®1 при х ®0, предел правой части тоже равен 1, по теор. о пределе промежуточной функции $ .

Эквивалентная форма второго замечательного предела:

Докажем, что . Пусть n = E (x), тогда n £ x < n +1. Если x ®+¥, то и n ®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим . Предел правого члена при n ®¥ равен числу е, предел левого тоже равен числу е. По теор. о пределе промежуточной функции $ , и он тоже равен числу е. Далее, , и снова применяя теор. о пределе промежуточной функции, получаем, что существует и равен числу е