double arrow

Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций и последовательностей).

Теорема предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f (x) и g(x) опре­делены в проколотой окрестности (x0) точки x0, причем для любого x (x0) выпол­няется неравенство f (x)≥g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы и то a ≥ b.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы a < b, и пусть . Тогда существует δ1> 0 такое, что при 0 < |x — x0|<δ1 имеет место не­равенство |f (x) — a| <ε, т.е. a — ε< f (x) < a + ε. Аналогично существует δ2> 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ2 выполняется неравенство |g(x) — b| <ε, т.е. b—ε< g(x) <b+ε.

Если δ = min(δ1, δ2), и 0 < |x — x0| <δ, то , т.е. f (x) < g(x) для указанных значений x — противоречие. Теорема доказана.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: