Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем)

Опр. функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, при этом в точках a и b предполагается непрерывность, соответственно, справа и слева.

Теор. об обращении функции в нуль. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [ a, b ] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то найдётся точка с Î[ a, b ], в которой функция обращается в нуль: f (с) =0, a < c < b.

Теор. о промежуточном значении. Если функция f (х) непрерывна на отрезке, и в двух точках a и b (a < b) принимает неравные значения A = f (а)¹ B = f (b), то для любого числа С, лежащего между A и B, найдётся точка с Î[ a, b ], в которой значение функции равно С: f (с) = С.

Теор. об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f (х) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теор. о достижении минимального и максимального значений. Если функция f (х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Теор. о непрерывности обратной функции. Пусть функция у = f (x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [ a, b ]. Тогда на отрезке [m,М] существует обратная функция х = g (у), также монотонно возрастающая (убывающая) на [m,М] и непрерывная.