2018-01-08
4003
Опр.8.6.1. Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы один из односторонних пределов 
или 
равен 
или 
.
Опр.8.6.2. Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции , если функцию 
можно представить в виде 
, где 
при 
(или 
, или 
).
Теор.8.6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
.
Док-во. Необходимость. Пусть прямая - наклонная асимптота графика функции при , т.е., согласно определению, 
, где 
при . Тогда 
. Переходим к пределу при . 
, следовательно, 
. С другой стороны, в этом случае 
, и так как существует предел правой части этого равенства, то существует и предел левой части, и 
.
Достаточность. Пусть два указанных предела существуют, тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её пределом) 
(
- БМ при ), т.е. прямая - действительно наклонная асимптота графика функции при .
