Билет 3. Скорость и ускорение материальной точки

Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот промежуток времени:

Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения называют неравномерным или переменным. Средней скоростью v_ср называется величина, равная отношению перемещения тела ∆r за некоторый промежуток времени ∆t к этому промежутку:

Направление вектора средней скорости vср совпадает с направлением ∆r (рисунок 1.2). При неограниченном уменьшении ∆t, vср стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью. Итак, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость vср, когда промежуток времени движения стремится к нулю:

Модуль средней скорости определяется как отношение пути ∆S, пройденного телом за некоторый промежуток времени, к этому промежутку:

Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. Поэтому:

Мгновенная скорость v есть векторная величина, равная первой производной радиуса - вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рисунок 1.2).По мере уменьшение ∆t путь ∆S все больше будет приближаться к |∆r|, поэтому модуль мгновенной скорости:

Таким образом, модуль мгновенной скорости v равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движении тела его скорость непрерывно изменяется. Как быстро изменяется скорость тела, показывает величина, которая называется ускорением. Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + ∆t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости ∆v к интервалу времени ∆t:

Мгновенным ускорением а в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение ∆а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. В данной системе отсчета вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие координатные оси (проекциями а_х, а_у, а_z).

Составляющая а_τ вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке, называется тангенциальным (касательным) ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор а_τ направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости (рисунок 1.3 - а) и в противоположную сторону - при убывании скорости (рисунок 1.3 - б).

а)	б)
Рисунок 1.3

Тангенциальная составляющая ускорения а_τ равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю:

Вторая составляющая ускорения, равная:

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют так же центростремительным ускорением).

Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих: