Основные уравнения для определения скоростей и ускорений

1. Поступательное движение (рис. 7.1)

Скорости всех точек тела одинаковы по величине и направлению, также, как и ускорения.

V_А= V_В = V_с=

a_А = a_В = а_С =...

Рисунок 7.1

1. Вращательное движение вокруг неподвижной оси (рис. 7.2)

L_ОА=│ОА│

Рисунок 7.2

Векторскорости V_А┴ОА и направлен в сторонудвижения, направлен против движения.

Ускорение разлагается на нормальное и касательное:

; ; (7.1)

вектор направлен так же, как и угловое ускорение .

Если направления углового ускорения и угловой скорости совпадают, то движение будет ускоренным.

Если направления углового ускорения и угловой скорости противоположены по направлению, то движение будет замедленное.

(7.2)

векторное уравнение.

По величине полное ускорение точки А будет равно:

(7.3)

Угол отклонения вектора ускорения точки от радиуса можно определить по формуле:

(7.4)

(7.5)

3.Плоскопараллельное движение (рис. 7.3)

Из теоретической механики известно, что движение какой-либо точки звена можно представить как сумму двух движений: из движения какой-либо другой точки А и движения самой точки В вокруг А.

т.е. (7.6)

где

- вектор скорости точки А;

- вектор скорости точки В;

- вектор скорости точки В в движении вокруг точки А;

Направление вектора ,

=>

Рисунок 7.3

Ускорение точки В также состоит из двух ускорений: где (*) -вектор ускорения точки В (7.7) - вектор ускорения точки А; - вектор ускорения точки В вокруг точки А;

Уравнение (*) примет следующий вид:

(7.8)

Направление векторов: ,

(7.9)

(7.10)

4. Две точки принадлежат двум звеньям, соединенным в поступательную кинематическую пару и в данный момент совпадают (рис. 7.4)

Точка А принадлежат звену 1, В – звену 2. В данный момент точка В находится над точкой А. Звенья 1 и 2 соединены в одну поступательную пару. Движение точки В состоит из двух движений: движения точки В вместе с точкой А и движения точки В относительно точки А.

Ускорение складывается из трех ускорении: ускорения точки А, ускорения относительно точки А и поворотного ускорения. В данном случае движение поступательное, поэтому относительное движение раскладывается только на касательное ускорение. Векторное уравнение имеет вид:

Рисунок 7.4

Поступательная кинематическая пара

(7.11)

где V _ВА // XX

(7.12)

где - поворотное ускорение точки В, относительно точки А;

направление касательного вектора ;

- кориолисово ускорение;

Направление вектора кориолисова ускорения (по направлению - угловая скорость)

Определить скорости можно также и графическим способом при помощи так называемых планов скоростей. Планы скоростей строятся по векторным уравнениям, которые составляются отдельно для каждой групп Ассура.

Рассмотрим пример: Возьмем шарнирный четырехзвенник. Известны размеры звеньев l_ОА, l_АВ, l_ВС, l_ОС, положение механизма, закон движения ведущего звена ω₁=const.

Движение ведущего звена считаем равномерным.

Построение планов скоростей проводится в порядке построения механизма.

Скорость ведущего звена: V_А=ω₁ l_ОА - величина скорости точки А.

Рисунок 7.5

Направления угловых скоростей и угловых ускорений

плоского четырехзвенника.

Вектор скорости направлен ┴ звену ОА, в сторону направления угловой скорости ω ₁. Скорость точки В определяется двумя способами:

относительно т. А.

относительно т. В.

Следует задаться масштабом μ_V - масштаб скорости. Точка Р является полюсом плана скоростей. В ней сосредотачиваются все неподвижные точки механизма.

От точки Р откладываем вектор V_А.

Величина определяется следующим образом:

Выбираем отрезок на чертеже, представляющий вектор скорости V_А:

-выбираем произвольно, исходя из формата чертежа.

Направление отрезка перпендикулярно звену ОА.

Из двух уравнений для вектора скорости V_В второе превращается в тождество, так V_С=0, поэтому построение плана скоростей производим согласно первому уравнению, относительно точки А:

Рисунок 7.6 План скоростей

Скорость точки В неизвестна по величине, но известна по направлению, она ┴ звену ВС.

Вектор скорости V_ВА также неизвестен по величине, но известен по направлению, он перпендикулярен звену АВ.

Проведем две линии, одну через полюс Р по направлению вектора скорости V_В, вторую через конец вектора , по направлению вектора скорости V_ВА. Пересечение этих линии даст два вектора pв, а, которые представляют неизвестные свекторы скоростей V_В, V_ВА.

Согласно векторному уравнению получили графическое представление скоростей. Теперь в соответствии с ранее выбронным масштабом скорости μ_V, определим величину скоростей V_В, V_ВА. Она будут равны:

V_В=[рв] μ_V;

V_ВА= [ав]μ_V;

Также можно определить угловые скорости ω ₂ и ω _{3 .}

; ; (7.13)

Для определения направления ω₂ перенесем вектор на звено АВ и посмотрим, как будет двигаться звено. Видно, что вектор угловой скорости ω₂ направлен против часовой стрелки.

Теорема подобия планов скоростей (общие понятия)

При построении планов скоростей очень важно знать о подобии планов скоростей. Сформулируем эту теорему так:

Теорема подобия планов скоростей: отрезки прямых линий, соединяющие точки на схеме звена механизма, и отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов относительных скоростей этих точек на плане скоростей, образуют полные и сходственно расположенные фигуры. Фигура на плане скоростей повернута относительно фигуры схемы звена на 90 градусов.

Литература: /1/ гл. 6, §32 /2/ гл2, лекция 6, /1/ гл. 6, §31 /2/ гл.2 лекция 5

Вопросы для самопроверки

1. Напишите векторное уравнение для каждой группы Ассура отдельно.

2. Как выбирается масштаб скорости?

3. Чем отличается планы скоростей для вращающейся и поступательной пары?

4. О чем гласит теорема подобия планов скоростей?

5. Что называют радиусом - вектором?

6. Напишите формулы для определения скорости и ускорения при:

1. поступательном движении;
2. вращательном движении;
3. плоскопараллельном движении.